logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 1276

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

03031993
postów: 4
2013-04-18 18:04:04

1) Obliczyć (jeżeli istnieje)
a) f '(1), gdzie
f(x) = $\left\{\begin{matrix} -2x^2 + 3x + 1 dla x\le1 \\ x^2 - 3x + 4 dla x>1 \end{matrix}\right.$

b) f '(2), gdzie
f(x) = $\left\{\begin{matrix} -x^2 + x dla x\le2 \\ x^2 - 7x + 8 dla x>2 \end{matrix}\right.$

c) f '(3), gdzie
f(x) = $\left\{\begin{matrix} x^2 + 4x - 4 dla x<3 \\ 5x + 2 dla x\ge3 \end{matrix}\right.$

d) f '(0), gdzie
f(x) = $\left\{\begin{matrix} 0 dla x>0 \\ x(x+1)^2 dla x\le0 \end{matrix}\right.$

2)
a) Niech f(x) = $\sqrt{4x + 1}$ obliczyć f '(2)
b) Obliczyć f '(0 +), gdzie f(x) = x$\sqrt{4x - x^2}$


tumor
postów: 8070
2013-04-19 00:03:58

1. Liczymy pochodne jednostronne.

$f(1)=2$

$\lim_{x \to 1-}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=
\lim_{x \to 1-}\frac{-2x^2+3x+1-2}{x-1}=
\lim_{x \to 1-}\frac{-(2x^2-3x+1)}{x-1}=
\lim_{x \to 1-}\frac{-(x-1)(2x-1))}{x-1}=-1$

$\lim_{x \to 1+}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=
\lim_{x \to 1+}\frac{x^2-3x+4-2}{x-1}=
\lim_{x \to 1+}\frac{(x-2)(x-1)}{x-1}=-1$

równe pochodne jednostronne oznaczają, że istnieje pochodna i jest im równa.


tumor
postów: 8070
2013-04-19 00:16:43

Jeśli widzimy, że mamy do czynienia np z wielomianami, to wiemy, że jego pochodna jest ciągła. Pochodna jednostronna jest wtedy jednostronną granicą (funkcji) pochodnej.

Możemy zatem upewnić się tylko, że zadana funkcja jest ciągła, tzn w b):

$\lim_{x \to 2+}x^2-7x+8=f(2)$

i wystarczy policzyć, czy

$\lim_{x \to 2+}(x^2-7x+8)`=\lim_{x \to 2-}(-x^2+x)`$
$\lim_{x \to 2+}(2x-7)=\lim_{x \to 2-}(-2x+1)$
$-3=-3$
i to nasza szukana pochodna $f`(2)$


tumor
postów: 8070
2013-04-19 20:16:56

c) jak wcześniej, wielomiany mają ciągłe pochodne
$
\lim_{x \to 3-}x^2+4x-4=17=f(3)$ czyli f jest ciągła w $x=3$

Sprawdzamy, czy $\lim_{x \to 3-}(x^2+4x-4)`=\lim_{x \to 3+}(5x+2)`$

$\lim_{x \to 3-}(2x+4)=\lim_{x \to 3+}(5)$
Oczywiście
$10\neq 5$
czyli pochodne jednostronne są różne, zatem nie istnieje pochodna w $x=3$


tumor
postów: 8070
2013-04-19 20:21:25

d) pochodne wielomianów są ciągłe, f jest ciągła, sprawdzamy czy

$\lim_{x \to 0-}(x(x+1)^2)`=\lim_{x \to 0+}(0)`$
$\lim_{x \to 0-}(3x^2+4x+1)=\lim_{x \to 0+}(0)$

ale
$1 \neq 0$

czyli strony nie są równe, pochodne jednostronne różne, czyli nie istnieje pochodna w $x=0$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj