Analiza matematyczna, zadanie nr 1276
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
03031993 post贸w: 4 |  2013-04-18 18:04:041) Obliczy膰 (je偶eli istnieje) a) f \'(1), gdzie f(x) = $\left\{\begin{matrix} -2x^2 + 3x + 1 dla x\le1 \\ x^2 - 3x + 4 dla x>1 \end{matrix}\right.$ b) f \'(2), gdzie f(x) = $\left\{\begin{matrix} -x^2 + x dla x\le2 \\ x^2 - 7x + 8 dla x>2 \end{matrix}\right.$ c) f \'(3), gdzie f(x) = $\left\{\begin{matrix} x^2 + 4x - 4 dla x<3 \\ 5x + 2 dla x\ge3 \end{matrix}\right.$ d) f \'(0), gdzie f(x) = $\left\{\begin{matrix} 0 dla x>0 \\ x(x+1)^2 dla x\le0 \end{matrix}\right.$ 2) a) Niech f(x) = $\sqrt{4x + 1}$ obliczy膰 f \'(2) b) Obliczy膰 f \'(0 +), gdzie f(x) = x$\sqrt{4x - x^2}$ |
tumor post贸w: 8070 | 2013-04-19 00:03:58 1. Liczymy pochodne jednostronne. $f(1)=2$ $\lim_{x \to 1-}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}= \lim_{x \to 1-}\frac{-2x^2+3x+1-2}{x-1}= \lim_{x \to 1-}\frac{-(2x^2-3x+1)}{x-1}= \lim_{x \to 1-}\frac{-(x-1)(2x-1))}{x-1}=-1$ $\lim_{x \to 1+}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}= \lim_{x \to 1+}\frac{x^2-3x+4-2}{x-1}= \lim_{x \to 1+}\frac{(x-2)(x-1)}{x-1}=-1$ r贸wne pochodne jednostronne oznaczaj膮, 偶e istnieje pochodna i jest im r贸wna. |
tumor post贸w: 8070 | 2013-04-19 00:16:43 Je艣li widzimy, 偶e mamy do czynienia np z wielomianami, to wiemy, 偶e jego pochodna jest ci膮g艂a. Pochodna jednostronna jest wtedy jednostronn膮 granic膮 (funkcji) pochodnej. Mo偶emy zatem upewni膰 si臋 tylko, 偶e zadana funkcja jest ci膮g艂a, tzn w b): $\lim_{x \to 2+}x^2-7x+8=f(2)$ i wystarczy policzy膰, czy $\lim_{x \to 2+}(x^2-7x+8)`=\lim_{x \to 2-}(-x^2+x)`$ $\lim_{x \to 2+}(2x-7)=\lim_{x \to 2-}(-2x+1)$ $-3=-3$ i to nasza szukana pochodna $f`(2)$ |
tumor post贸w: 8070 | 2013-04-19 20:16:56 c) jak wcze艣niej, wielomiany maj膮 ci膮g艂e pochodne $ \lim_{x \to 3-}x^2+4x-4=17=f(3)$ czyli f jest ci膮g艂a w $x=3$ Sprawdzamy, czy $\lim_{x \to 3-}(x^2+4x-4)`=\lim_{x \to 3+}(5x+2)`$ $\lim_{x \to 3-}(2x+4)=\lim_{x \to 3+}(5)$ Oczywi艣cie $10\neq 5$ czyli pochodne jednostronne s膮 r贸偶ne, zatem nie istnieje pochodna w $x=3$ |
tumor post贸w: 8070 | 2013-04-19 20:21:25 d) pochodne wielomian贸w s膮 ci膮g艂e, f jest ci膮g艂a, sprawdzamy czy $\lim_{x \to 0-}(x(x+1)^2)`=\lim_{x \to 0+}(0)`$ $\lim_{x \to 0-}(3x^2+4x+1)=\lim_{x \to 0+}(0)$ ale $1 \neq 0$ czyli strony nie s膮 r贸wne, pochodne jednostronne r贸偶ne, czyli nie istnieje pochodna w $x=0$ |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj