Analiza matematyczna, zadanie nr 1276
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
03031993 postów: 4 | 2013-04-18 18:04:04 1) Obliczyć (jeżeli istnieje) a) f '(1), gdzie f(x) = $\left\{\begin{matrix} -2x^2 + 3x + 1 dla x\le1 \\ x^2 - 3x + 4 dla x>1 \end{matrix}\right.$ b) f '(2), gdzie f(x) = $\left\{\begin{matrix} -x^2 + x dla x\le2 \\ x^2 - 7x + 8 dla x>2 \end{matrix}\right.$ c) f '(3), gdzie f(x) = $\left\{\begin{matrix} x^2 + 4x - 4 dla x<3 \\ 5x + 2 dla x\ge3 \end{matrix}\right.$ d) f '(0), gdzie f(x) = $\left\{\begin{matrix} 0 dla x>0 \\ x(x+1)^2 dla x\le0 \end{matrix}\right.$ 2) a) Niech f(x) = $\sqrt{4x + 1}$ obliczyć f '(2) b) Obliczyć f '(0 +), gdzie f(x) = x$\sqrt{4x - x^2}$ |
tumor postów: 8070 | 2013-04-19 00:03:58 1. Liczymy pochodne jednostronne. $f(1)=2$ $\lim_{x \to 1-}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}= \lim_{x \to 1-}\frac{-2x^2+3x+1-2}{x-1}= \lim_{x \to 1-}\frac{-(2x^2-3x+1)}{x-1}= \lim_{x \to 1-}\frac{-(x-1)(2x-1))}{x-1}=-1$ $\lim_{x \to 1+}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}= \lim_{x \to 1+}\frac{x^2-3x+4-2}{x-1}= \lim_{x \to 1+}\frac{(x-2)(x-1)}{x-1}=-1$ równe pochodne jednostronne oznaczają, że istnieje pochodna i jest im równa. |
tumor postów: 8070 | 2013-04-19 00:16:43 Jeśli widzimy, że mamy do czynienia np z wielomianami, to wiemy, że jego pochodna jest ciągła. Pochodna jednostronna jest wtedy jednostronną granicą (funkcji) pochodnej. Możemy zatem upewnić się tylko, że zadana funkcja jest ciągła, tzn w b): $\lim_{x \to 2+}x^2-7x+8=f(2)$ i wystarczy policzyć, czy $\lim_{x \to 2+}(x^2-7x+8)`=\lim_{x \to 2-}(-x^2+x)`$ $\lim_{x \to 2+}(2x-7)=\lim_{x \to 2-}(-2x+1)$ $-3=-3$ i to nasza szukana pochodna $f`(2)$ |
tumor postów: 8070 | 2013-04-19 20:16:56 c) jak wcześniej, wielomiany mają ciągłe pochodne $ \lim_{x \to 3-}x^2+4x-4=17=f(3)$ czyli f jest ciągła w $x=3$ Sprawdzamy, czy $\lim_{x \to 3-}(x^2+4x-4)`=\lim_{x \to 3+}(5x+2)`$ $\lim_{x \to 3-}(2x+4)=\lim_{x \to 3+}(5)$ Oczywiście $10\neq 5$ czyli pochodne jednostronne są różne, zatem nie istnieje pochodna w $x=3$ |
tumor postów: 8070 | 2013-04-19 20:21:25 d) pochodne wielomianów są ciągłe, f jest ciągła, sprawdzamy czy $\lim_{x \to 0-}(x(x+1)^2)`=\lim_{x \to 0+}(0)`$ $\lim_{x \to 0-}(3x^2+4x+1)=\lim_{x \to 0+}(0)$ ale $1 \neq 0$ czyli strony nie są równe, pochodne jednostronne różne, czyli nie istnieje pochodna w $x=0$ |
strony: 1 |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj