Teoria liczb, zadanie nr 1307

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
polkiuyt postów: 34	2013-05-06 20:16:33 Wykaż, że jeśli $p \in P$\{2,5}, to p dzieli nieskończenie wiele wyrazów ciągu 1,11,111,1111,...

tumor postów: 8070	2013-05-06 21:23:48 Wystarczy pokazać, że każda $p\in P\backslash \{2,5\}$ dzieli jeden z wyrazów tego ciągu. Wtedy, jeśli $p\|\sum_{i=1}^{n}10^{i-1}$, dla pewnego $n$, to także $p\|\sum_{i=1}^{kn}10^{i-1}$, dla $k$ całkowitego dodatniego. Weźmy zatem $p$ jak wyżej. Jeśli $p=3$ to oczywiście $p\|111$. Jeśli $p\neq 3$ to używamy MTF i dostajemy, że $p\|10^p-10$ ale $p$ jest pierwsza, różna od $2$ i od $5$, zatem możemy prawą stronę podzielić przez $10$, dostajemy $p\|10^{p-1}-1$ Liczba $10^{p-1}-1$ jest podzielna przez $\sum_{i=1}^{p-2}10^{i-1}$, czyli $p\|\sum_{i=1}^{p-2}10^{i-1}$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj