logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Teoria liczb, zadanie nr 1309

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

polkiuyt
postów: 34
2013-05-06 22:08:59

Udowodnij, że jeśli p jest liczbą pierwszą postaci 4k+3, to $(\frac{1}{2}(p-1))!\equiv 1$(mod p) albo $(\frac{1}{2}(p-1)) \equiv -1$ (mod p)


irena
postów: 2636
2013-05-07 11:32:23

p=4k+3
$\frac{p-1}{2}=\frac{4k+3-1}{2}=2k+1$ - liczba nieparzysta

Jeśli p- liczba pierwsza, to
$(p-1)!\equiv-1(mod p)$

$p-1\equiv-1(mod p)$
$p-2\equiv-2(mod p)$.
.
.
$\frac{p+1}{2}\equiv-\frac{p-1}{2}(mod p)$

$(p-1)!\equiv1\cdot2\cdot...\cdot\frac{p-1}{2}\cdot(-\frac{p-1}{2}\cdot...\cdot(-2)\cdot(-1)(mod p)\equiv-[(\frac{p-1}{2})!]^2(mod p)$

$[(\frac{p-1}{2})!]^2\equiv1(mod p)$

$(\frac{p-1}{2})!\equiv1(mod p)$ lub $(\frac{p-1}{2})!\equiv-1(mod p)$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj