Algebra, zadanie nr 1316
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
jacekkkk postów: 1 | 2013-05-11 21:27:55 Zbadać ekstrema funkcji z=f(x,y) 1. f(x,y)=x^4+y^4-2x^2+4xy-2y^2 2. f(x,y)=x^3+y^3-3axy |
tumor postów: 8070 | 2016-09-01 15:12:22 1. Liczymy pochodne cząstkowe $\frac{\delta f}{\delta x}=4x^3-4x+4y=4(x^3-x+y)$ $\frac{\delta f}{\delta y}=4y^3-4y+4x=4(y^3-y+x)$ Przyrównujemy je do zera. Można zauważyć, że wtedy $x^3+y^3=0$, czyli $x=-y$ wobec czego $x^3-2x=0$ $x(x^2-2)=0$ punkty stacjonarne to (0,0) oraz $(\pm \sqrt{2}, \pm (-1)\sqrt{2})$ Liczymy wyznacznik drugich pochodnych w punktach stacjonarnych $\left|\begin{matrix} 4(3x^2-1)& 4\\4 & 4(3y^2-1) \end{matrix}\right|$ i gdy dla punktu stacjonarnego wychodzi dodatni to oznacza istnienie ekstremum. pierwsza wartość macierzy informuje nas, czy to minimum (gdy jest dodatnia, jak dla $(\pm \sqrt{2}, \pm (-1)\sqrt{2})$), czy maksimum (gdyby była ujemna). Dla punktu (0,0) nie dostajemy rozstrzygnięcia. Ale widzimy, że wartość funkcji w (0,0) jest równa 0. Gdy przedstawimy funkcję jako $x^4+y^4-2(x-y)^2$ to bardzo łatwo widzimy, że w pobliżu zera funkcja przyjmuje wartości dodatnie (dla dowolnie bliskich zera x,y, gdy x=y), ale może też przyjmować wartości ujemne (np dla $x=-y=\frac{1}{n}$) Wobec tego w (0,0) nie ma ekstremum. 2. Analogicznie |
strony: 1 |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj