logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Algebra, zadanie nr 1316

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

jacekkkk
postów: 1
2013-05-11 21:27:55

Zbadać ekstrema funkcji z=f(x,y)
1. f(x,y)=x^4+y^4-2x^2+4xy-2y^2
2. f(x,y)=x^3+y^3-3axy


tumor
postów: 8070
2016-09-01 15:12:22

1.
Liczymy pochodne cząstkowe
$\frac{\delta f}{\delta x}=4x^3-4x+4y=4(x^3-x+y)$
$\frac{\delta f}{\delta y}=4y^3-4y+4x=4(y^3-y+x)$

Przyrównujemy je do zera. Można zauważyć, że wtedy
$x^3+y^3=0$, czyli $x=-y$
wobec czego $x^3-2x=0$
$x(x^2-2)=0$

punkty stacjonarne to (0,0) oraz $(\pm \sqrt{2}, \pm (-1)\sqrt{2})$

Liczymy wyznacznik drugich pochodnych w punktach stacjonarnych

$\left|\begin{matrix} 4(3x^2-1)& 4\\4 & 4(3y^2-1) \end{matrix}\right|$
i gdy dla punktu stacjonarnego wychodzi dodatni to oznacza istnienie ekstremum.
pierwsza wartość macierzy informuje nas, czy to minimum (gdy jest dodatnia, jak dla $(\pm \sqrt{2}, \pm (-1)\sqrt{2})$), czy maksimum (gdyby była ujemna).
Dla punktu (0,0) nie dostajemy rozstrzygnięcia. Ale widzimy, że wartość funkcji w (0,0) jest równa 0.
Gdy przedstawimy funkcję jako
$x^4+y^4-2(x-y)^2$ to bardzo łatwo widzimy, że w pobliżu zera funkcja przyjmuje wartości dodatnie (dla dowolnie bliskich zera x,y, gdy x=y), ale może też przyjmować wartości ujemne (np dla $x=-y=\frac{1}{n}$) Wobec tego w (0,0) nie ma ekstremum.


2. Analogicznie

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj