Rachunek różniczkowy i całkowy, zadanie nr 1318
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
witkor1 postów: 7 | 2013-05-12 13:14:22 Oblicz długość łuku danego w układzie biegunowym równaniem: $\lambda=a\omega$ $a=const$ $0\le\omega\le2\pi$ |
zorro postów: 106 | 2013-05-23 08:23:09 Stosujemy wzór na dł łuku w układzie biegunowym: $S=\int_{0}^{2\pi} \sqrt{\lambda^2+\lambda'^2} d\omega$ $S=\int_{0}^{2\pi} \sqrt{(a\omega)^2+a^2} \space d\omega = \int_{0}^{2\pi} a\sqrt{\omega^2+1} \space d\omega$ $S=a\int_{0}^{2\pi}\sqrt{\omega^2+1} \space d\omega$ Rozwiązujemy najpierw pomocniczo całki nieoznaczone stowarzyszone: $I_{1}=\int_{}^{}\sqrt{\omega^2+1} \space d\omega$ $I_{2}=\int_{}^{}\frac{\omega^{2}}{\sqrt{\omega^2+1}} \space d\omega $ $I_{1}=\int_{}^{}\frac{\omega^{2}+1}{\sqrt{\omega^2+1}} \space d\omega = I_{2}+\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{\omega^2+1}} \space d\omega$ $I_{1}=I_{2}+ln|\omega+\sqrt{\omega^{2}+1}|$ Całkując $I_{1}$ przez części mamy także: $I_{1}=\omega\sqrt{\omega^{2}+1}-\int_{}^{}\omega\frac{2\omega}{2\sqrt{\omega^{2}+1}} \space d\omega = \omega\sqrt{\omega^{2}+1}-I_{2}$ Z tych dwóch równań po dodaniu stronami obliczamy: $I_{1}=\frac{1}{2}\omega\sqrt{\omega^{2}+1}-\frac{1}{2}ln|\omega+\sqrt{\omega^{2}+1}|$ Stałą całkowania przyjąłem zerową aby nie zaciemniać obliczeń, bo i tak przy całce oznaczonej stała odpadnie (odejmie się od siebie). To już wystarczy do obliczenia szukanej całki oznaczonej. Wiadomość była modyfikowana 2013-05-23 08:32:37 przez zorro |
zorro postów: 106 | 2013-05-23 08:45:58 $S=a\int_{0}^{2\pi}\sqrt{\omega^2+1}\space d\omega = a(\frac{1}{2}2\pi\sqrt{4\pi^2+1}-\frac{1}{2}ln(2\pi+\sqrt{4\pi^2+1}))-a(\frac{1}{2}*0-\frac{1}{2}*ln(1))$ Czyli długość szukanej krzywej (kawałek spirali) wyniesie: $S=a(\pi\sqrt{4\pi^2+1}-\frac{1}{2}ln(2\pi+\sqrt{4\pi^2+1}))$ $S\approx 18.72*a$ |
strony: 1 |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj