logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Rachunek różniczkowy i całkowy, zadanie nr 1318

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

witkor1
postów: 7
2013-05-12 13:14:22

Oblicz długość łuku danego w układzie biegunowym równaniem:
$\lambda=a\omega$
$a=const$
$0\le\omega\le2\pi$


zorro
postów: 106
2013-05-23 08:23:09

Stosujemy wzór na dł łuku w układzie biegunowym:
$S=\int_{0}^{2\pi} \sqrt{\lambda^2+\lambda'^2} d\omega$
$S=\int_{0}^{2\pi} \sqrt{(a\omega)^2+a^2} \space d\omega = \int_{0}^{2\pi} a\sqrt{\omega^2+1} \space d\omega$
$S=a\int_{0}^{2\pi}\sqrt{\omega^2+1} \space d\omega$
Rozwiązujemy najpierw pomocniczo całki nieoznaczone stowarzyszone:
$I_{1}=\int_{}^{}\sqrt{\omega^2+1} \space d\omega$
$I_{2}=\int_{}^{}\frac{\omega^{2}}{\sqrt{\omega^2+1}} \space d\omega $

$I_{1}=\int_{}^{}\frac{\omega^{2}+1}{\sqrt{\omega^2+1}} \space d\omega = I_{2}+\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{\omega^2+1}} \space d\omega$
$I_{1}=I_{2}+ln|\omega+\sqrt{\omega^{2}+1}|$

Całkując $I_{1}$ przez części mamy także:
$I_{1}=\omega\sqrt{\omega^{2}+1}-\int_{}^{}\omega\frac{2\omega}{2\sqrt{\omega^{2}+1}} \space d\omega = \omega\sqrt{\omega^{2}+1}-I_{2}$

Z tych dwóch równań po dodaniu stronami obliczamy:
$I_{1}=\frac{1}{2}\omega\sqrt{\omega^{2}+1}-\frac{1}{2}ln|\omega+\sqrt{\omega^{2}+1}|$

Stałą całkowania przyjąłem zerową aby nie zaciemniać obliczeń, bo i tak przy całce oznaczonej stała odpadnie (odejmie się od siebie).

To już wystarczy do obliczenia szukanej całki oznaczonej.





Wiadomość była modyfikowana 2013-05-23 08:32:37 przez zorro

zorro
postów: 106
2013-05-23 08:45:58

$S=a\int_{0}^{2\pi}\sqrt{\omega^2+1}\space d\omega = a(\frac{1}{2}2\pi\sqrt{4\pi^2+1}-\frac{1}{2}ln(2\pi+\sqrt{4\pi^2+1}))-a(\frac{1}{2}*0-\frac{1}{2}*ln(1))$
Czyli długość szukanej krzywej (kawałek spirali) wyniesie:
$S=a(\pi\sqrt{4\pi^2+1}-\frac{1}{2}ln(2\pi+\sqrt{4\pi^2+1}))$
$S\approx 18.72*a$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj