Algebra, zadanie nr 1325
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
attente post贸w: 19 |  2013-05-15 19:27:421) Zortogonalizowa膰 metod膮 Grama-Schmidta podane wektory w odpowiednich przestrzeniach euklidesowych: a) (2,1,3), (1,6,2) w przestrzeni $E^3$ b) (4,3,2,1), (4,3,2,0), (4,3,0,0) w przestrzeni $E^4$ 2) Sprawdzi膰, ze podane zbiory wektor贸w s膮 bazami ortogonalnymi lub ortonormalnymi w odpowiednich przestrzeniach euklidesowych i wyznaczy膰 wsp贸艂rz臋dne wskazanych wektor贸w w tych bazach: a) $\vec{v1}$ = 91,3,-2), $\vec{v2}$ = (-1,1,1) , $\vec{v3}$ = (5,1,4) , $\vec{u}$ = (1,0,1) $\in$ $E^3$ b) $\vec{v1}$ = (1,1,1,1), $\vec{v2}$ = (3,-1,-1,-1) , $\vec{v3}$ = (0,2,-1,-1), $\vec{v4}$ = (0.0,1,-1) , $\vec{u}$ = (1,2,-3,2) $\in$$E^4$ |
tumor post贸w: 8070 | 2014-05-31 17:18:04 Je艣li $\alpha$ jest k膮tem mi臋dzy wektorami $a$ i $b$, to 艂atwo zauwa偶y膰, 偶e $|a|*cos\alpha$ jest d艂ugo艣ci膮 rzutu wektora $a$ na wektor $b$. Zatem $a-\frac{b}{|b|}*|a|*cos\alpha$ jest sk艂adow膮 wektora $a$ prostopad艂膮 do $b$. Na tym pomy艣le opiera si臋 metoda Grama-Schmidta, mo偶emy rozszerzy膰 u艂amek mno偶膮c licznik i mianownik przez $|b|$, dostaniemy $a-\frac{b}{|b|^2}*(a\circ b)$ Podstawiaj膮c mo偶emy wzi膮膰 pierwszy wektor bez zmian, $(2,1,3)$, natomiast z drugiego zostawi膰 sk艂adow膮 prostopad艂膮 $(1,6,2)*(1-\frac{2+6+6}{1+36+4})=(1,6,2)*\frac{27}{41}$ |
tumor post贸w: 8070 | 2014-05-31 17:24:18 $ (4,3,0,0)$ zostawiamy bez zmian. Od wektora $(4,3,2,0)$ odejmiemy sk艂adow膮 r贸wnoleg艂膮 do wektora wy偶ej, $(4,3,2,0)-(4,3,0,0)*\frac{16+9}{16+9}=(0,0,2,0)$ Od wektora $(4,3,2,1)$ odejmiemy sk艂adowe r贸wnoleg艂e do wcze艣niejszych wektor贸w. $(4,3,2,1)-(4,3,0,0)*\frac{16+9}{16+9}-(0,0,2,0)*\frac{4}{4}=(0,0,0,1)$ |
tumor post贸w: 8070 | 2014-05-31 17:32:43 2) Ortogonalno艣膰 sprawdzamy mno偶膮c skalarnie parami wektory, skoro maj膮 by膰 prostopad艂e, to wymagamy wynik贸w $0$. Dla przyk艂adu $(1,3,-2)\circ (-1,1,1)=-1+3+(-2)=0$ Analogicznie dwa pozosta艂e mno偶enia daj膮 $0$. Ortonormalno艣ci nie dowiedziemy, bo w a) i b) wektory unormowane nie s膮. Unormowanie polega艂oby na podzieleniu ka偶dego wektora przez d艂ugo艣膰 (czyli pomno偶eniu go przez odwrotno艣膰 jego d艂ugo艣ci), co w efekcie da wektor o tym samym kierunku i zwrocie, ale d艂ugo艣ci 1. By wyznaczy膰 wsp贸艂rz臋dne wektora w bazie rozwi膮zujemy uk艂ad r贸wna艅 $x \left[\begin{matrix} 1 \\ 3\\-2 \end{matrix}\right] +y \left[\begin{matrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\right] +z \left[\begin{matrix} 5 \\ 1 \\ 4 \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} 1 \\ 0 \\1 \end{matrix}\right]$ Wektory ortogonalne s膮 z konieczno艣ci niezale偶ne, rozwi膮zanie istnieje i jest jedyne. Uk艂ad mo偶na rozwi膮za膰 metod膮 dowoln膮. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj