Teoria liczb, zadanie nr 1347

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
polkiuyt postów: 34	2013-05-26 21:50:40 Wielomian czwartego stopnia $f\in Z[x]$ ma następującą własność: dla każdego $a\in Z $ liczba 7 dzieli f(a). Wykaż, że 7 dzieli wszystkie współczynniki wielomianiu f. Czy liczbę 7 można zastąpić liczbą 5? a liczbą 8?

tumor postów: 8070	2013-05-27 07:10:01 Wielomian czwartego stopnia ma współczynniki $a_4,a_3,a_2,a_1,a_0$ $f(0)=a_0$ i $7\|f(0)$, czyli $7\|a_0$ $f(1)=a_4+a_3+a_2+a_1+a_0$ $f(-1)=a_4-a_3+a_2-a_1+a_0$ Zatem $7\|a_4+a_2$ i $7\|a_3+a_1$ $f(2)=16a_4+8a_3+4a_2+2a_1+a_0$ $f(-2)=16a_4-8a_3+4a_2-2a_1+a_0$ Zatem $7\|4a_4+a_2$ i $7\|4a_3+a_1$ Stąd $7\|3a_4$ oraz $7\|3a_3$ więc $7$ dzieli wszystkie współczynniki. Oczywiście wyjaśniłem skrótowo, ale jakieś proste prawa podzielności chyba umiesz zastosować? Spróbuj podobne rozumowanie przeprowadzić dla innych liczb i powiedz, czy działa.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj