Teoria liczb, zadanie nr 1348
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
polkiuyt post贸w: 34 |  2013-05-26 21:57:10Dana jest liczba naturalna. Udowodnij, 偶e suma pi膮tych pot臋g wszystkich liczb naturalnych mniejszych od n, wzgl臋dnie pierwszych z n dzieli si臋 przez n. |
tumor post贸w: 8070 | 2013-05-27 07:24:24 Niech $n>2$. Zauwa偶my, 偶e je艣li $m$ jest naturalna, mniejsza od $n$ i wzgl臋dnie pierwsza z $n$, to tak偶e $n-m$ ma wszystkie te w艂asno艣ci oraz $m\neq n-m$. Oczywi艣cie $n|m+(n-m)$ Pozostaje pokaza膰, 偶e $n|m^5+(n-m)^5$ ale szcz臋艣liwie sum臋 pi膮tych pot臋g da si臋 rozpisa膰 $m^5+(n-m)^5=(m+(n-m))(...)$ (no, wz贸r skr贸conego mno偶enia, nie b臋d臋 si臋 wyg艂u_pia膰) Wszystkie liczby naturalne mniejsze od $n$ i wzgl臋dnie pierwsze z $n$ da si臋 zawsze bra膰 parami, a suma pi膮tych pot臋g liczb z takiej pary jest podzielna przez $n$. Suma liczb podzielnych przez $n$ b臋dzie podzielna przez $n$, co ko艅czy dow贸d dla $n>2$. Dla $n=2$ teza prawdziwa nie jest, bo $2$ nie dzieli $1^5$. Dla $n=1$ teza jest trywialna, bo $1|0$ Na jak膮 uczelni臋 robi臋 te zadania? Przyjemne s膮. Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2013-05-27 07:25:38 przez tumor |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj