Teoria liczb, zadanie nr 1348
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
polkiuyt postów: 34 | 2013-05-26 21:57:10 Dana jest liczba naturalna. Udowodnij, że suma piątych potęg wszystkich liczb naturalnych mniejszych od n, względnie pierwszych z n dzieli się przez n. |
tumor postów: 8070 | 2013-05-27 07:24:24 Niech $n>2$. Zauważmy, że jeśli $m$ jest naturalna, mniejsza od $n$ i względnie pierwsza z $n$, to także $n-m$ ma wszystkie te własności oraz $m\neq n-m$. Oczywiście $n|m+(n-m)$ Pozostaje pokazać, że $n|m^5+(n-m)^5$ ale szczęśliwie sumę piątych potęg da się rozpisać $m^5+(n-m)^5=(m+(n-m))(...)$ (no, wzór skróconego mnożenia, nie będę się wygłu_piać) Wszystkie liczby naturalne mniejsze od $n$ i względnie pierwsze z $n$ da się zawsze brać parami, a suma piątych potęg liczb z takiej pary jest podzielna przez $n$. Suma liczb podzielnych przez $n$ będzie podzielna przez $n$, co kończy dowód dla $n>2$. Dla $n=2$ teza prawdziwa nie jest, bo $2$ nie dzieli $1^5$. Dla $n=1$ teza jest trywialna, bo $1|0$ Na jaką uczelnię robię te zadania? Przyjemne są. Wiadomość była modyfikowana 2013-05-27 07:25:38 przez tumor |
strony: 1 |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj