logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Teoria liczb, zadanie nr 1348

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

polkiuyt
postów: 34
2013-05-26 21:57:10

Dana jest liczba naturalna. Udowodnij, że suma piątych potęg wszystkich liczb naturalnych mniejszych od n, względnie pierwszych z n dzieli się przez n.


tumor
postów: 8070
2013-05-27 07:24:24

Niech $n>2$.

Zauważmy, że jeśli $m$ jest naturalna, mniejsza od $n$ i względnie pierwsza z $n$, to także $n-m$ ma wszystkie te własności oraz $m\neq n-m$.

Oczywiście $n|m+(n-m)$

Pozostaje pokazać, że $n|m^5+(n-m)^5$
ale szczęśliwie sumę piątych potęg da się rozpisać
$m^5+(n-m)^5=(m+(n-m))(...)$ (no, wzór skróconego mnożenia, nie będę się wygłu_piać)

Wszystkie liczby naturalne mniejsze od $n$ i względnie pierwsze z $n$ da się zawsze brać parami, a suma piątych potęg liczb z takiej pary jest podzielna przez $n$. Suma liczb podzielnych przez $n$ będzie podzielna przez $n$, co kończy dowód dla $n>2$.

Dla $n=2$ teza prawdziwa nie jest, bo $2$ nie dzieli $1^5$. Dla $n=1$ teza jest trywialna, bo $1|0$


Na jaką uczelnię robię te zadania? Przyjemne są.

Wiadomość była modyfikowana 2013-05-27 07:25:38 przez tumor
strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj