logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Teoria liczb, zadanie nr 1353

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

polkiuyt
postów: 34
2013-05-26 22:29:45

Udowodnij tożsamość $x^{p-1}-1 \equiv (x-1)(x-2)...(x-p+1) (mod p), gdzie p \in P $


tumor
postów: 8070
2013-05-27 08:32:43

dla względnie pierwszych $x,p$ mamy
$x^{p-1}-1 \equiv 0 (mod p)$ co jest treścią poznanego na wykładach Małego Tw. Fermata

Zauważmy, że liczby $x-p+1, x-p+2,...,x-2,x-1$ to $p-1$ kolejnych liczb całkowitych, a skoro $(x,p)=1$, to jedna z nich jest podzielna przez $p$, zatem i prawa strona przystaje do $0$ mod $p$.

Jeśli natomiast $x=ap$, wówczas należy pokazać, że
$-1 \equiv (-1)(-2)...(-p+1) (mod p)$, co jest treścią poznanego na wykładach Tw. Wilsona dla liczby $p$ nieparzystej.
Dla $p$ parzystego mamy $p=2$ i tożsamość
$x-1\equiv x-1 (mod p)$ nie wymagającą skomplikowanego dowodu.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj