Teoria liczb, zadanie nr 1354
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
polkiuyt post贸w: 34 |  2013-05-26 22:50:31Niech p$\in$P-{2} i niech 1+(1/2)+...+(1/(p-1))=L/M, gdzie (L,M)=1. Udowodnij, 偶e p|L. |
tumor post贸w: 8070 | 2014-05-31 11:07:38 Pomn贸偶my obie strony przez $(p-1)!$ Dostajemy $\frac{(p-1)!}{1}+\frac{(p-1)!}{2}+\frac{(p-1)!}{3}+...+\frac{(p-1)!}{p-1}=\frac{(p-1)!L}{M}$ Liczba po lewej jest oczywi艣cie ca艂kowita, po lewej mamy parzyst膮 ilo艣膰 sk艂adnik贸w (bo $p$ nieparzyste). Zauwa偶my, 偶e dwa r贸偶ne sk艂adniki po lewej stronie maj膮 na pewno r贸偶ne reszty z dzielenia przez $p$ (nie trzeba dowodzi膰, 偶e s膮 przez $p$ niepodzielne, prawda?). Gdyby bowiem $\frac{(p-1)!}{a}$ i $\frac{(p-1)!}{b}$ mia艂y t臋 sam膮 reszt臋 z dzielenia przez $p$, to liczba $\frac{(p-1)!}{a}-\frac{(p-1)!}{b}=\frac{(b-a)(p-1)!}{ab}$ by艂aby podzielna przez $p$, wobec czego liczba ta musi by膰 r贸wna $0$, czyli $b=a$. Skoro liczby te maj膮 r贸偶ne reszty z dzielenia przez $p$, jest ich $p-1$, a r贸偶nych reszt z dzielenia przez $p$ te偶 jest $p-1$, to mamy tu wszystkie mo偶liwe reszty. Zauwa偶my, 偶e reszty te mo偶emy dodawa膰 parami sumuj膮cymi si臋 do $p$, reszta $1$ z reszt膮 $p-1$, reszta $2$ z reszt膮 $p-2$, etc, ilo艣膰 reszt jest parzysta wi臋c si臋 uda. Ostatecznie dowiedli艣my, 偶e liczba po lewej jest podzielna przez $p$. Po prawej liczba $(p-1)!$ jest przez $p$ niepodzielna, st膮d $p|L$ |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj