Algebra, zadanie nr 1357
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
roksyk post贸w: 10 |  2013-05-28 18:00:14Korzystaj膮c z ca艂ek krzywoliniowych wyznacz wsp贸艂rz臋dne 艣rodka ci臋偶ko艣ci kawa艂ka jednorodnej paraboli o r贸wnaniu y=4x^{2} czyli o r贸wnaniach parametrycznych x=t, y=4t^{2} od punktu A(0,0) do punktu B(2,16). |
roksyk post贸w: 10 | 2013-05-28 18:04:41 Wyznaczy膰 promie艅 zbie偶no艣ci szeregu pot臋gowego oraz rozstrzygn膮膰 zbie偶no艣膰 szeregu na ko艅cach promienia: \sum_{n=1}^{\infty}(arc tg2n)^{n}*x^{n}\5^{n} |
tumor post贸w: 8070 | 2013-05-28 19:06:49 $ \sum_{n=1}^{\infty}(arc tg2n)^{n}*x^{n}\5^{n} $ Jasny gwint. Naprawd臋 was wszystkich ucz膮, 偶e dzielenie to kreska wszystko jedno w kt贸r膮 stron臋? Za艂贸偶my, 偶e w przyk艂adzie mamy $\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{arctg2n}{5})^nx^n$ $\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{(\frac{arctg2n}{5})^n}=\frac{\frac{\pi}{2}}{5}=\frac{\pi}{10}$ Zatem promie艅 zbie偶no艣ci to $\frac{10}{\pi}$ A jako 偶e $arctg2n<\frac{\pi}{2}$, na ko艅cach przedzia艂u zbie偶no艣ci szereg jest rozbie偶ny (nie spe艂nia warunku koniecznego) |
roksyk post贸w: 10 | 2013-05-28 20:53:47 Dzi臋kuj臋 bardzo. |
zorro post贸w: 106 | 2013-05-30 06:44:02 Co do 艣rodka ci臋偶kosci, zak艂adam, 偶e g臋sto艣膰 liniowa krzywej jest sta艂a i wynosi \"g\" (w ka偶dym punkcie g(x,y)=g). R贸wnanie krzywej K: $x=t \Rightarrow dx(t)=dt$ $y=4t^2 \Rightarrow dy(t)=8tdt$ Dla punktu A(0,0) $t=0$ Dla punktu B(2,16) $t=2$ Masa krzywej: $m_{k}=\int_{K}^{}g(x,y)ds=\int_{0}^{2}g\sqrt{1+dy^2(t)}dt=g\int_{0}^{2}\sqrt{1+64t^2}dt$ po podstawieniu $m=8t$ $\frac{1}{8}dm=dt$ i po zmianie granic ca艂kowania szukana ca艂ka przyjmie posta膰: $I=\frac{1}{8}g\int_{0}^{16}\sqrt{1+m^2}dm$ Je艣li zerkniesz na zadanie nr 1318 przekonasz si臋 krok po kroku jak policzy膰 tak膮 ca艂k臋, tu za艣 podam tylko wynik dla ca艂ki nieoznaczonej (z pomini臋ciem sta艂ej ca艂kowania): $\int_{}^{}\sqrt{1+m^2}dm=\frac{1}{2}(m\sqrt{1+m^2}-ln|m+\sqrt{1+m^2}|)$ Zatem $I=\frac{1}{8}g*\frac{1}{2}*(16*\sqrt{257}-ln(16+\sqrt{257}))=g\sqrt{257}-\frac{g*ln(16+\sqrt{257})}{16}$ Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2013-05-30 07:06:08 przez zorro |
zorro post贸w: 106 | 2013-05-30 07:04:26 W przybli偶eniu masa krzywej wynosi $m_{k}=15.81g$ Aby obliczy膰 艣rodek ci臋偶ko艣ci trzeba jeszcze znale艣膰 momenty bezw艂adno艣ci: $M_{y}=\int_{K}^{}gxds=g\int_{0}^{2}t\sqrt{1+64t^2}dt$ tu podstawiamy: $m=1+64t^2$ $dm=128tdt$ $t=0\iff m=1$ $t=2\iff m=257$ w贸wczas $M_{y}=g\frac{1}{128}\int_{1}^{257}\sqrt{m}dm=\frac{\sqrt{257}^3-1}{192}g$ w przybli偶eniu $M_{y}=21.45g$ Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2013-05-30 07:26:40 przez zorro |
zorro post贸w: 106 | 2013-05-30 07:25:02 Teraz wzgl臋dem drugiej osi: $M_{x}=\int_{K}^{0}gyds=g\int_{0}^{2}4t^2\sqrt{1+64t^2}dt$$M_{x}=4g\int_{0}^{2}t^2\sqrt{1+64t^2}dt$ Przez podstawienie $m=8t$ ca艂ka sprowadza si臋 do postaci: $M_{x}=\frac{1}{128}g\int_{0}^{16}m^2\sqrt{1+m^2}dm$ Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2013-05-30 08:05:44 przez zorro |
zorro post贸w: 106 | 2013-05-30 09:13:06 Obliczamy najpierw ca艂k臋: $I_{p}=\int_{0}^{16}m*m*\sqrt{1+m^2}dm$ stosujemy podstawienie Eulera: $k=m+\sqrt{1+m^2}$ sk膮d: $k=1 \iff m=0$ $k=16+\sqrt{257}\approx 32.03 \approx 32 \iff m=16$ $m^2=\frac{(k^2-1)^2}{4k^2}$ $\sqrt{1+m^2}=\frac{k^2+1}{2k}$ $dm=\frac{k^2+1}{2k^2}$ I ca艂ka sprowadza si臋 do postaci: $I_{p}=\frac{1}{16}\int_{1}^{32}\frac{k^8-2k^4+1}{k^5}dk$ $I_{p}=\frac{1}{16}*|\frac{1}{4}k^4-2lnk-\frac{1}{4k^4}|_{k:32,1}\approx 16383$ Ostatecznie $M_{x}\approx 128g$ I mamy 艣rodek masy: $x_{c}=\frac{M_{y}}{m_{k}}=\frac{21.45}{15.81}=1.38$ $y_{c}=\frac{M_{x}}{m_{k}}=\frac{128}{15.81}=8.1$ |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj