Logika, zadanie nr 1360

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
jehns postów: 10	2013-05-29 10:44:57 Udowodnić, że dla dowolnych n, m $\in$ N\{0} mamy $R^{m}$ $\sim$ $R^{n}$

tumor postów: 8070	2013-05-29 11:14:07 A co było robione? Tę równoliczność można pokazać małymi krokami, np wykorzystując krzywą Peano, a można zestrzelić z pokaźnej armaty: Tw. Hessenberga. Musiałbym wiedzieć, na jakich wcześniejszych tw. mogę się oprzeć. Bo z Tw. Hessenberga jest od razu $R \sim R\times R \sim R\times (R\times R)\sim R\times (R\times (R\times R)) \sim ...$ a izomorfizm np $R^4$ z $R\times (R\times (R\times R))$ jest dość oczywisty.

jehns postów: 10	2013-06-02 10:49:04 A mógłby się Pan oprzeć na tw. Cantora-Bernsteina.

tumor postów: 8070	2013-06-02 11:09:46 I tak i nie. :) Teoria jest podawana w jakiejś kolejności. Udowadnia się twierdzenia, potem następne twierdzenia dzięki poprzednim twierdzeniom etc. A ja nie wiem, jakich tw. mogę użyć. Robię tu liczne zadania. Jeśli uznamy, że MAMY JUŻ rozwiązane zadanie $R^N \sim R$ (a je robiłem) to od razu z Cantora-Bernsteina dostajemy dla $m\ge n\ge 1$ $R \le R^n \le R^m \le R^N \le R$ czyli $R \sim R^n \sim R^m \sim R^N \sim R$ Tylko że to robota trywialna, bo używamy i tak w trakcie wyniku, że $A \sim A\times A$ dla zbiorów nieskończonych. Można więc albo po prostu PRZYSWOIĆ SOBIE dowód tego twierdzenia z literatury, a następnie mieć mniej ogólne zadania z głowy, albo dziubdziać się z każdym zadaniem oddzielnie (co odradzam). Dziubdzianie by polegało na pokazaniu, że $R\sim R\times R$ oddzielnie, wprost. Wystarczy pokazać $F\sim F^2$, gdzie $F$ jest zbiorem ciągów zero-jedynkowych. Bo pamiętamy już, że liczby rzeczywiste z zakresu $[0,1]$ można utożsamiać (z drobną poprawką) z ciągami zero-jedynkowymi. Jeśli $a=a_1, a_2, a_3,...$ $b=b_1, b_2, b_3,... $ są takimi ciągami, to można pokazać, że $f:F^2\to F$ dana wzorem $f(a,b)=c=a_1,b_1,a_2,b_2,a_3,b_3,...$ jest bijekcją, co nam daje równoliczność $R$ z $R^2$. Dalej indukcyjnie. Należy tylko pokazać, że $R^3$ jest izomorficzne z $(R^2)\times R$, co może wynikać wprost z definicji $R^n$ (zależy jaka była).

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj