Logika, zadanie nr 1364
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
jehns post贸w: 10 |  2013-05-31 17:03:53Jakiej mocy jest zbi贸r F wszystkich funkcji z N do N majacych sko艅czony zbi贸r warto艣ci? Odpowied藕 uzasadni膰 |
tumor post贸w: 8070 | 2013-05-31 19:05:19 a) jest tych funkcji co najmniej $ \mathfrak{c}$ Bo funkcji $f\colon N \to \{0,1\}$ jest dok艂adnie $ \mathfrak{c}$, te funkcje to ci膮gi zerojedynkowe niesko艅czone, kt贸re mo偶emy uto偶samia膰 z rozwini臋ciem dw贸jkowym liczb rzeczywistych z przedzia艂u $[0,1]$. Uto偶samienie nie jest 艣cis艂e, bo $0,1=0,0(1)$, funkcji jest zatem co najmniej tyle ile liczb rzeczywistych w tym przedziale. Natomiast ka偶da liczba ma najwy偶ej dwa przedstawienia w postaci ci膮g贸w, a $ \mathfrak{c}+\mathfrak{c}=\mathfrak{c}$ (i uwaga Zamiast zbioru $\{0,1\}$ mo偶na oczywi艣cie wzi膮膰 $\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ i rozwa偶a膰 rozwini臋cia dziesi臋tne, albo jeszcze inny zbi贸r i inne rozwini臋cia) b) jest tych funkcji co najwy偶ej $ \mathfrak{c}$ Zapewne by艂o na zaj臋ciach, 偶e sko艅czonych podzbior贸w $N$ jest przeliczalnie wiele. Uzasadnia si臋 to ustalaj膮c $n$, pokazuj膮c, 偶e n-elementowych podzbior贸w N jest przeliczalnie wiele, bo $N^n\sim N$, a potem sumuj膮c po wszelkich $n\in N$, dostajemy przeliczaln膮 sum臋 zbior贸w przeliczalnych, r贸wnoliczn膮 z $N^2$ czyli z $N$. W przypadku funkcji u偶yjemy podobnej argumentacji. Dla ustalonego sko艅czonego podzbioru $A$ zbioru $N$ mamy co najwy偶ej $\mathfrak{c}$ funkcji $f\colon N\to A$, a zbior贸w takich jest przeliczalnie wiele. Przeliczalna suma zbior贸w mocy $\mathfrak{c}$ jest mocy $\mathfrak{c}$ (jako 偶e $R\le N\times R \le R\times R \sim R$) |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj