Logika, zadanie nr 1366
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
jehns post贸w: 10 |  2013-05-31 17:14:24Udowodni膰, 偶e zbi贸r ekstrem贸w lokalnych funkcji ci膮g艂ej f : R$\rightarrow$R jest co najwy偶ej przeliczalny |
jehns post贸w: 10 | 2013-06-02 10:50:12 Ponawiam pro艣b臋 o rozwi膮zanie zadania |
tumor post贸w: 8070 | 2013-06-02 22:37:14 Nie b膮d藕 maruda. Jak jest czas, to si臋 robi. A wiesz, ja na studiach nie zrzyna艂em zada艅 z netu, bo bym si臋 wstydzi艂 potem da膰 indeks. Poka偶emy mo偶e, 偶e zbi贸r maksim贸w jest co najwy偶ej przeliczalny, dla minim贸w ca艂e rozumowanie jest analogiczne. Maksimum lokalne w $x_0$ polega na tym, 偶e dla pewnego $n\in N$ dla ka偶dego y w s膮siedztwie $S(x_0,\frac{1}{n})$ mamy $f(y)<f(x_0)$. Rozwa偶my zbiory $A_n=\{x: \forall_{y\in S(x,\frac{1}{n})}(f(y)<f(x)) \}$ Dla ustalonego n zbi贸r $A_n$ jest najwy偶ej przeliczalny, bowiem ka偶dy punkt prostej R nale偶y do co najwy偶ej 2 kul $K(x_0,\frac{1}{n})$, dla $x_0\in A_n$. (Tu mo偶e trzeba si臋 chwil臋 zastanowi膰. 艢rodek jednej kuli nigdy nie nale偶y do innej kuli tej postaci, natomiast mo偶e si臋 zdarzy膰, 偶e jaki艣 punkt mi臋dzy 艣rodkami nale偶y jednocze艣nie do dw贸ch kul. Promienie s膮 ustalone, wi臋c tylko przeliczalna ilo艣膰 tak rozmieszczonych kul \"zmie艣ci si臋\" na prostej) Ka偶de maksimum nale偶y do co najmniej jednego zbioru $A_n$. Natomiast $\bigcup_{n\in N_+}A_n$ jest przeliczaln膮 sum膮 zbior贸w przeliczalnych, jest wi臋c zbiorem przeliczalnym. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj