Topologia, zadanie nr 1369
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
celinka post贸w: 4 |  2013-06-01 15:14:10Czy obw贸d kwadratu jest podprzestrzeni膮 zwart膮 p艂aszczyzny? Czy jest homeomorficzny z okr臋giem? Czy ka偶de dwie podprzestrzenie p艂aszczyzny, z kt贸rych ka偶da jest sum膮 dw贸ch przecina- j膮cych si臋 w jednym punkcie odcink贸w otwartych, s膮 homeomorficzne? |
tumor post贸w: 8070 | 2014-05-31 10:50:54 Obw贸d kwadratu jest ograniczony. Jest domkni臋ty, bo jego dope艂nienie jest otwarte (bior膮c punkt z dope艂nienia znajdziemy ca艂e jego otoczenie roz艂膮czne z brzegiem kwadratu). Zatem tak, jest to podprzestrze艅 zwarta. Opiszmy okr膮g na kwadracie albo wpiszmy w kwadrat, oboj臋tne. P贸艂prosta wychodz膮ca ze 艣rodka okr臋gu ma jeden punkt wsp贸lny z okr臋giem i jeden z kwadratem. Takie przyporz膮dkowanie punkt贸w okr臋gu i kwadratu jest homeomorfizmem, wystarczy zauwa偶y膰, 偶e obraz i przeciwobraz 艂uku (z ko艅cami) jest 艂aman膮 (z ko艅cami), czyli przeciwobraz i obraz zbioru bazowego s膮 otwarte, czyli obraz i przeciwobraz zbioru otwartego s膮 otwarte, a skoro funkcja jest bijekcj膮, to spe艂niaj膮c te warunki jest homeomorfizmem. Na ostatnie pytanie tak偶e odpowied藕 jest twierdz膮ca. Homeomorfizm intuicyjnie oczywisty, przyporz膮dkowuje punkt przeci臋cia punktowi przeci臋cia, a \"ramionom\" jednej figury \"ramiona\" drugiej. Odcinki otwarte s膮 homeomorficzne, czyli 艂atwo o bijekcj臋 ci膮g艂膮 o ci膮g艂ej odwrotno艣ci. Pozostaje pokaza膰, 偶e obraz i przeciwobraz otwartego otoczenia punktu przeci臋cia odcink贸w te偶 s膮 zbiorami otwartymi, co jednak nie powinno nastr臋cza膰 wi臋kszych trudno艣ci. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj