Topologia, zadanie nr 1370
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
celinka post贸w: 4 |  2013-06-01 15:14:45Dane s膮 na p艂aszczy藕nie euklidesowej dwie proste przecinaj膮ce si臋 i p贸艂p艂aszczyzna do- mkni臋ta, nie zawieraj膮ca ich punktu przeci臋cia. Udowodni膰, 偶e dla pewnego punktu p贸艂- p艂aszczyzny suma odleg艂o艣ci od tych prostych jest minimalna. |
tumor post贸w: 8070 | 2014-05-31 10:40:43 Najwy偶ej jedna z prostych jest roz艂膮czna z p贸艂p艂aszczyzn膮, by膰 mo偶e obie proste nie s膮 z ni膮 roz艂膮czne. Je艣li jedna z prostych jest r贸wnoleg艂a do brzegu p贸艂p艂aszczyzny, to punkt przeci臋cia drugiej prostej z brzegiem p贸艂p艂aszczyzny ma t臋 minimaln膮 sum臋 odleg艂o艣ci, co 艂atwo pokaza膰. Tu mamy wyznaczenie efektywne. No ale tak naprawd臋 to zadanie na u偶ycie twierdzenia, pewnie o osi膮ganiu kres贸w przez funkcj臋 ci膮g艂膮 na zbiorze zwartym, to walnijmy jakie艣 niekonstruktywne uzasadnienie topologiczne. Je艣li obie proste s膮 nier贸wnoleg艂e do brzegu p贸艂p艂aszczyzny, to rozumujemy tak: Punkt przeci臋cia prostych jest w odleg艂o艣ci r od p贸艂p艂aszczyzny. Mo偶na znale藕膰 domkni臋te otoczenie ka偶dej z prostych, czyli zbi贸r punkt贸w oddalonych od tej prostej o, powiedzmy, 2r lub mniej. Proste nie s膮 r贸wnoleg艂e, s膮 przecinaj膮ce si臋, zatem cz臋艣膰 wsp贸lna otocze艅 b臋dzie niepusta, b臋dzie ograniczona, b臋dzie mie膰 te偶 niepusty przekr贸j z p贸艂p艂aszczyzn膮. Nazwijmy ten przekr贸j A. Jako zbi贸r domkni臋ty i ograniczony zbi贸r ten jest zwarty. Dla punkt贸w nale偶膮cych do A suma odleg艂o艣ci od prostych jest nie wi臋ksza ni偶 4r, dla punkt贸w le偶膮cych poza A suma odleg艂o艣ci od prostych jest wi臋ksza ni偶 2r. Mamy punkt przeci臋cia odleg艂y od p贸艂p艂aszczyzny o r, zatem minimum, o ile istnieje, ma sum臋 odleg艂o艣ci nie wi臋ksza ni偶 2r, minimum, o ile istnieje, jest dla elementu z A. No i wystarczy pokaza膰, 偶e istnieje. A jest zwarty, suma odleg艂o艣ci jest ci膮g艂a, zatem suma odleg艂o艣ci dla elementu z A przyjmuje warto艣膰 najmniejsz膮, a ta warto艣膰 najmniejsza jest mniejsza ni偶 suma odleg艂o艣ci od prostych dla punkt贸w spoza A. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj