Topologia, zadanie nr 1371
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
celinka post贸w: 4 |  2013-06-01 15:15:20Podprzestrze艅 X p艂aszczyzny euklidesowej jest sum膮 sko艅czonej liczby okr臋g贸w, z kt贸- rych ka偶de dwa maj膮 punkt wsp贸lny. Czy X jest obrazem ci膮g艂ym odcinka (domkni臋tego, otwartego, z jednym ko艅cem)? Czy X jest zwarta? |
tumor post贸w: 8070 | 2014-05-31 10:21:19 Okr膮g jest sp贸jny, domkni臋ty i ograniczony, zwarty. Suma dw贸ch takich zbior贸w o niepustej cz臋艣ci wsp贸lnej te偶 jest takim zbiorem, zatem przez indukcj臋 suma n takich zbior贸w te偶 jest takim zbiorem. $X$ jest ci膮g艂ym obrazem odcinka niezale偶nie od ko艅c贸w tego odcinka, dowie艣膰 nale偶y tylko, 偶e jest ci膮g艂ym obrazem odcinka domkni臋tego (bo odcinek domkni臋ty jest ci膮g艂ym obrazem odcinka o dowolnych ko艅cach, przyk艂ady by艂y w podr臋cznikach z gimnazjum, a z艂o偶enie funkcji ci膮g艂ych jest ci膮g艂e). Dow贸d mo偶na indukcyjnie. Jeden okr膮g jest obrazem odcinka domkni臋tego $[a,b]$. Je艣li do takiego obrazu dokleimy kolejny okr膮g i punkt doklejenia b臋dzie r贸wny $f(b)$, to w oczywisty spos贸b tak powsta艂y zbi贸r b臋dzie obrazem przedzia艂u $[a;b]\cup [b;c]$. Je艣li 偶aden punkt przeci臋cia dotychczasowej figury z nowym okr臋giem nie jest r贸wny $f(b)$, to bierzemy drog臋 艂膮cz膮c膮 dowolny z tych punkt贸w z $f(b)$, droga ta jest obrazem $[b;c]$, natomiast doklejany okr膮g to obraz $[c;d]$. Nowa figura jest obrazem przedzia艂u $[a;b]\cup [b;c]\cup [c;d]$. W sko艅czonej liczbie krok贸w uzasadniamy, 偶e $X$ jest obrazem odcinka domkni臋tego. Jak kto艣 lubi dowody nieczytelne, to nale偶y to rozumowanie zapisa膰 w formalnej symbolice. ;) |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj