Topologia, zadanie nr 1372
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
celinka post贸w: 4 |  2013-06-01 15:18:01Udowodni膰, 偶e odwzorowanie homeomorficzne jednego przedzia艂u liczbowego na drugi jest 艣ci艣le monotoniczne. |
tumor post贸w: 8070 | 2014-05-31 08:34:50 Korzystaj膮c z twierdze艅 analizy 艂atwo dostajemy, 偶e je艣li $f$ jest ci膮g艂a na przedziale domkni臋tym (a ma w艂asno艣膰 Darboux), to je艣li nie jest 艣ci艣le monotoniczna, to nie jest r贸偶nowarto艣ciowa, czyli nie mo偶e by膰 homeomorfizmem. Mo偶emy rzecz machn膮膰 bardziej metodami topologii. Homeomorfizm $f$ to bijekcja taka, 偶e $f$ i $f^{-1}$ s膮 obie ci膮g艂e. Przypu艣膰my, 偶e istniej膮 $a,b,c$ 偶e $a<b<c$ i $f(b)>f(a)$, $f(b)>f(c)$ (analogicznie rozumowanie mo偶na przeprowadzi膰 dla nier贸wno艣ci w drug膮 stron臋), czyli 偶e $f$ nie jest 艣ci艣le monotoniczna. Nie musimy rozwa偶a膰 r贸wno艣ci, bo te od razu przecz膮 r贸偶nowarto艣ciowo艣ci. Rozwa偶my przeciwobraz zbioru $A=[min(f(a),f(c)), max(f(a),f(c))]$. Przeciwobraz zbioru sp贸jnego poprzez homeomorfizm musi by膰 sp贸jny, tu $B=f^{-1}[A]$ jest niesp贸jny, bo istniej膮 punkty zbioru $B$ mniejsze od $b$ i istniej膮 wi臋ksze od $b$, cho膰 $b\notin B$. $f$ nie jest homeomorfizmem. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj