Analiza matematyczna, zadanie nr 139

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
ewelina6975 postów: 3	2011-07-01 19:51:15 Bardzo proszę o pomoc w rozwiązanie zadania Wyznaczyć przedział zbieżności i sumę następującego szeregu funkcyjnego $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n+1}{3^{n}}x^{2n+1}$ z góry dziękuję:)

tumor postów: 8070	2012-09-19 12:16:22 Promień zbieżności $r=\sqrt{3}$ (Czy z kryterium Cauchy'ego, czy d'Alemberta czy po prostu z pomyślunku na temat tempa zbieżności pewnych ciągów :P) Dla $x=\pm\sqrt{3}$ szereg rozbieżny (bo sumowany ciąg nie jest zbieżny do $0$). Możemy sobie pozwolić na następujące przekształcenie przy ustalonym $x$ w kole zbieżności: $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n+2-1}{3^n}x^{2n+1}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n+2}{3^n}x^{2n+1}-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^n}x^{2n+1}= $ $ \sum_{n=1}^{\infty}(\frac{1}{3^n}x^{2n+2})`-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^n}x^{2n+1} =(\frac{x^4}{3}\frac{1}{1-\frac{x^2}{3}})`-\frac{x^3}{3}\frac{1}{1-\frac{x^2}{3}} = $ $ (\frac{x^4}{3-x^2})`-\frac{x^3}{3-x^2}$ Pochodna jest łatwa, więc nie będę tu miejsca marnował. Można różniczkować i całkować po wyrazie, bo mamy zbieżność jednostajną w dowolnym zwartym przedziale koła zbieżności, sumy liczone po prostu jako sumy ciągu geometrycznego o $\|q\|<1$.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj