Teoria liczb, zadanie nr 1411
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
polkiuyt post贸w: 34 |  2013-06-09 08:42:04Udowodnij, 偶e je艣li p$\in$P\{2}, to istniej膮 dok艂adnie dwie r贸偶ne liczby naturalne x i y spe艂niaj膮ce r贸wnanie $\frac{2}{p}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ |
tumor post贸w: 8070 | 2013-06-11 11:42:36 Zauwa偶my, 偶e rozwi膮zaniem jest p=x=y. Chcemy, by $x\neq y$, przyjmijmy $x>y>0$. Wtedy musimy mie膰 $\frac{1}{x}<\frac{1}{p}<\frac{1}{y}<\frac{2}{p}$ czyli $p>y>\frac{p}{2}$ $p$ jest liczb膮 nieparzyst膮, natomiast $y$ jest liczb膮 ca艂kowit膮, zatem $y=\frac{p+k}{2}$, gdzie $k$ jest jak膮艣 liczb膮 nieparzyst膮 mniejsz膮 od $p$. Podstawmy do r贸wnania. $\frac{2}{p}=\frac{1}{\frac{p+k}{2}}+\frac{1}{x}$ i sprowad藕my cz臋艣ciowo do wsp贸lnego mianownika $\frac{2*\frac{p+k}{2}}{p*\frac{p+k}{2}}=\frac{p}{p*\frac{p+k}{2}}+\frac{1}{x}$ $\frac{p+k}{p*\frac{p+k}{2}}=\frac{p}{p*\frac{p+k}{2}}+\frac{1}{x}$ St膮d $\frac{1}{x}=\frac{k}{p*\frac{p+k}{2}}$ Chcemy mie膰 w liczniku $1$, czyli $k$ musia艂oby si臋 nam skr贸ci膰 z mianownikiem. Oczywi艣cie nie skraca si臋 z $p$, bo $p$ pierwsza i wi臋ksza od $k$. Zatem $k|\frac{p+k}{2}$, wtedy $2k|p+k$, ale st膮d wniosek, 偶e $k|p$. Zatem $k=1$, bo $k<p$. Otrzymali艣my jedyne rozwi膮zanie. $\frac{p+1}{p*\frac{p+1}{2}}=\frac{1}{\frac{p+1}{2}}+\frac{1}{p*\frac{p+1}{2}}$ czyli $y=\frac{p+1}{2}$ $x=p*\frac{p+1}{2}$ |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj