Teoria mnogo艣ci, zadanie nr 1506
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
mat12 post贸w: 221 |  2013-07-06 13:11:08W zbiorze $\mathbb{Q}\cap [1,2013]$ wprowadzamy relacj臋 $\prec$ nastepuj膮co $\frac{p}{q}\prec \frac{r}{s}\iff\frac{ps}{qr}\in \mathbb{Z}$. Sprawdzi膰, 偶e jest to relacja cz臋艣ciowego porz膮dku i wskaza膰 wszystkie elementy minimalne i maksymalne. bardzo prosz臋 o pokazanie jak robi si臋 takie zadanie z g贸ry dzi臋kuj臋 |
tumor post贸w: 8070 | 2013-09-14 09:32:39 Porz膮dki (cz臋艣ciowe) s膮 silne albo s艂abe, tu zale偶y wiele od sposobu ich wprowadzenia. S艂aby porz膮dek to na przyk艂ad $\le$ na $R$, jest to relacja zwrotna, przechodnia i s艂abo antysymetryczna, a s艂abym porz膮dkom odpowiadaj膮 silnie porz膮dki (i odwrotnie), tu odpowiedni silny to $<$. Jest to relacja przeciwzwrotna, przechodnia i asymetryczna (wystarczy przeciwzwrotno艣膰 i przechodnio艣膰, asymetria z nich wynika). Relacja $\prec$ jest relacj膮 zwrotn膮, mamy bowiem $\frac{p}{q}\prec \frac{p}{q}$, gdy偶 $\frac{pq}{pq}\in Z$. Czyli b臋dziemy sprawdza膰 pozosta艂e warunki s艂abego cz臋艣ciowego porz膮dku. a) (s艂aba) antysymetria, czyli warunek $aRb \wedge bRa \Rightarrow a=b$ Za艂贸偶my zatem, 偶e $\frac{p}{q}\prec \frac{r}{s}$ oraz $\frac{r}{s}\prec \frac{p}{q}$, zatem $\frac{ps}{qr}\in Z$ oraz $\frac{qr}{ps}\in Z$. S膮 tylko dwie liczby ca艂kowite, kt贸rych odwrotno艣ci s膮 ca艂kowite, to $\pm 1$. Odrzucamy $-1$, bo przeczy warunkom zadania. Dostajemy $ps=qr$, a tak偶e wiemy, 偶e $p,s,r,q$ nie s膮 zerami, st膮d $\frac{p}{q}=\frac{r}{s}$, co nale偶a艂o pokaza膰. b) przechodnio艣膰, czyli warunek $xRy \wedge yRz \Rightarrow xRz$ Za艂贸偶my zatem, 偶e $\frac{p}{q}\prec \frac{r}{s}$ oraz $\frac{r}{s}\prec \frac{t}{u}$, zatem $\frac{ps}{qr}\in Z$ oraz $\frac{ru}{st}\in Z$. Mno偶膮c te liczby dostajemy $\frac{ps}{qr}\cdot \frac{ru}{st}=\frac{pu}{qt}$, a iloczyn liczb ca艂kowitych jest liczb膮 ca艂kowit膮. $\frac{pu}{qt}\in Z$, a to oznacza, 偶e $\frac{p}{q}\prec \frac{t}{u}$ |
tumor post贸w: 8070 | 2013-09-14 10:10:52 Element maksymalny to taki, 偶e nie ma wi臋kszego. Bardziej formalnie: element a nazywamy maksymalnym, gdy nie istnieje $b\neq a$ taki, 偶e $a\prec b$. Minimalny analogicznie. Zastan贸wmy si臋 (m贸zgowo!). W og贸le gdy robisz zadania, dojd藕 do tego, o czym jest zadanie, a nie staraj si臋 go od razu zapisa膰 krzakami. :) Krzaki to tylko j臋zyk, 偶eby co艣 powiedzie膰, trzeba najpierw MIE膯 CO powiedzie膰. :) Jak po polsku. Zatem zastan贸wmy si臋, jak ta relacja w og贸le wygl膮da. Je艣li $\frac{ps}{qr}=1$, to $\frac{p}{q}=\frac{r}{s}$, je艣li $\frac{ps}{qr}=a$, to $\frac{p}{q}=a\frac{r}{s}$. Liczby $p,q,r,s$ s膮 naturalne dodatnie (mo偶emy tak za艂o偶y膰, bo tworz膮 liczby wymierne dodatnie), st膮d i $a$ jest liczb膮 naturaln膮 dodatni膮. Czyli $\frac{r}{s}$ jest \"wi臋ksza w sensie relacji $\prec$\" od $\frac{p}{q}$, je艣li jest a-krotnie mniejsza w sensie naturalnego porz膮dku na $Q$ (m贸wimy o liczbach wymiernych). Ponadto m贸wimy o przedziale $[1,2013]$, element $\frac{p}{q}$ b臋dzie minimalny, je艣li w $Q\cap [1,2013]$ NIE B臉DZIE a-krotnie (dla $a=2,3,4,...$) wi臋kszej liczby wymiernej. Zatem wszystkie elementy z $Q\cap (1006\frac{1}{2}, 2013]$ s膮 minimalne. Analogicznie, maksymalne s膮 elementy z $Q\cap[1,2)$, bowiem w $Q\cap [1,2013]$ NIE MA liczb a-krotnie mniejszych od liczb z tego przedzia艂u. Chyba 偶e co艣 pomyli艂em :P |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj