logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Algebra, zadanie nr 153

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

jenov
postów: 2
2011-09-14 11:16:28

Witam serdecznie.
Prosiłbym o podsunięcie rozwiązania pewnej całki. Dawno temu przerabiałem materiał z tego i trochę moja wiedza się zakurzyła. Rozwiązanie jest na pewno banalne, tylko ja go nie widzę. W miarę możliwości prosiłbym o rozwiązanie z zastosowaniem elementarnych metod liczenia całek (podstawowe wzory, metoda podstawiania, całkowania przez części, pochodna w liczniku):

$\int \frac{x^{2}}{4x^{2}-9} dx$

Trochę nad tym siedziałem i udało mi się zrobić coś takiego:

$\int \frac{x^{2}}{4x^{2}-9}dx=\frac {1}{4} \int \frac{x^{2}-\frac{9}{4}+\frac{9}{4}}{4x^{2}-\frac{9}{4}}dx=\frac{1}{4}dx+\frac{9}{4}\int \frac{1}{x^{2}-\frac{9}{4}}dx=?$

Mogę teraz w całce $\frac{9}{4}\int \frac{1}{x^{2}-\frac{9}{4}}dx$ zastosować podstawianie za $x^{2}-\frac{9}{4}$ ?

Wiadomość była modyfikowana 2011-09-14 11:58:19 przez jenov

irena
postów: 2636
2011-09-14 13:37:33

Początek jest dobry.
$\int \frac{x^2}{4x^2-9}dx=\frac{1}{4}\int(1+\frac{\frac{9}{4}}{x^2-\frac{9}{4}})dx$

Ale ja rozpisałabym ułamek na sumę ułamków prostych:
$\frac{1}{x^2-\frac{9}{4}}=\frac{A}{x-\frac{3}{2}}+\frac{B}{x+\frac{3}{2}}=\frac{(A+B)x+\frac{3}{2}(A-B)}{x^2-\frac{9}{4}}$

$\left\{\begin{matrix} A+B=0 \\ \frac{3}{2}(A-B)=1\end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} A=\frac{1}{3} \\ B=-\frac{1}{3} \end{matrix}\right.$

$\int\frac{dx}{x^2-\frac{9}{4}}=\frac{1}{3}\int\frac{dx}{x-\frac{3}{2}}-\frac{1}{3}\int\frac{dx}{x+\frac{3}{2}}=\frac{1}{3}ln|\frac{x-\frac{3}{2}}{x+\frac{3}{2}}|=\frac{1}{3}ln|\frac{2x-3}{2x+3}|$


jenov
postów: 2
2011-09-14 14:25:36

Dziękuje uprzejmie za pomoc :)


Mariusz Śliwiński
postów: 489
2011-09-14 17:32:01

Można też tak:

$ \frac{x^{2}}{4x^{2}-9} = \frac{1}{4} \cdot \frac {4x^2-9 + 9}{4x^2 - 9} = \frac{1}{4} \cdot(1 + \frac{9}{(2x+3)(2x-3)}) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{(2x+3)(2x-3)} $

$\frac{1}{(2x+3)(3x-3)} = \frac{1}{6} \cdot (\frac {1}{2x-3} - \frac {1}{2x+3}) \cdot $

Zatem
$ \frac{x^{2}}{4x^{2}-9} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{12} \cdot 9 \cdot (\frac {2}{2x-3} - \frac {2}{2x+3}) = \frac{1}{4} + \frac{3}{16} \cdot (\frac {2}{2x-3} - \frac {2}{2x+3}) $

$\int \frac{x^{2}}{4x^{2}-9} dx = \frac{1}{4}x + \frac{3}{16} \cdot \ln\frac{|2x-3|}{|2x+3|} + C$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj