Algebra, zadanie nr 153
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
jenov post贸w: 2 |  2011-09-14 11:16:28Witam serdecznie. Prosi艂bym o podsuni臋cie rozwi膮zania pewnej ca艂ki. Dawno temu przerabia艂em materia艂 z tego i troch臋 moja wiedza si臋 zakurzy艂a. Rozwi膮zanie jest na pewno banalne, tylko ja go nie widz臋. W miar臋 mo偶liwo艣ci prosi艂bym o rozwi膮zanie z zastosowaniem elementarnych metod liczenia ca艂ek (podstawowe wzory, metoda podstawiania, ca艂kowania przez cz臋艣ci, pochodna w liczniku): $\int \frac{x^{2}}{4x^{2}-9} dx$ Troch臋 nad tym siedzia艂em i uda艂o mi si臋 zrobi膰 co艣 takiego: $\int \frac{x^{2}}{4x^{2}-9}dx=\frac {1}{4} \int \frac{x^{2}-\frac{9}{4}+\frac{9}{4}}{4x^{2}-\frac{9}{4}}dx=\frac{1}{4}dx+\frac{9}{4}\int \frac{1}{x^{2}-\frac{9}{4}}dx=?$ Mog臋 teraz w ca艂ce $\frac{9}{4}\int \frac{1}{x^{2}-\frac{9}{4}}dx$ zastosowa膰 podstawianie za $x^{2}-\frac{9}{4}$ ? Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2011-09-14 11:58:19 przez jenov |
irena post贸w: 2636 | 2011-09-14 13:37:33 Pocz膮tek jest dobry. $\int \frac{x^2}{4x^2-9}dx=\frac{1}{4}\int(1+\frac{\frac{9}{4}}{x^2-\frac{9}{4}})dx$ Ale ja rozpisa艂abym u艂amek na sum臋 u艂amk贸w prostych: $\frac{1}{x^2-\frac{9}{4}}=\frac{A}{x-\frac{3}{2}}+\frac{B}{x+\frac{3}{2}}=\frac{(A+B)x+\frac{3}{2}(A-B)}{x^2-\frac{9}{4}}$ $\left\{\begin{matrix} A+B=0 \\ \frac{3}{2}(A-B)=1\end{array}\right$ $\left\{\begin{matrix} A=\frac{1}{3} \\ B=-\frac{1}{3} \end{array}\right$ $\int\frac{dx}{x^2-\frac{9}{4}}=\frac{1}{3}\int\frac{dx}{x-\frac{3}{2}}-\frac{1}{3}\int\frac{dx}{x+\frac{3}{2}}=\frac{1}{3}ln|\frac{x-\frac{3}{2}}{x+\frac{3}{2}}|=\frac{1}{3}ln|\frac{2x-3}{2x+3}|$ |
jenov post贸w: 2 | 2011-09-14 14:25:36 Dzi臋kuje uprzejmie za pomoc :) |
Mariusz 艢liwi艅ski post贸w: 489 | 2011-09-14 17:32:01 Mo偶na te偶 tak: $ \frac{x^{2}}{4x^{2}-9} = \frac{1}{4} \cdot \frac {4x^2-9 + 9}{4x^2 - 9} = \frac{1}{4} \cdot(1 + \frac{9}{(2x+3)(2x-3)}) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{(2x+3)(2x-3)} $ $\frac{1}{(2x+3)(3x-3)} = \frac{1}{6} \cdot (\frac {1}{2x-3} - \frac {1}{2x+3}) \cdot $ Zatem $ \frac{x^{2}}{4x^{2}-9} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{12} \cdot 9 \cdot (\frac {2}{2x-3} - \frac {2}{2x+3}) = \frac{1}{4} + \frac{3}{16} \cdot (\frac {2}{2x-3} - \frac {2}{2x+3}) $ $\int \frac{x^{2}}{4x^{2}-9} dx = \frac{1}{4}x + \frac{3}{16} \cdot \ln\frac{|2x-3|}{|2x+3|} + C$ |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj