logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Geometria, zadanie nr 154

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

saddamk666
postów: 2
2011-09-15 21:55:35

Witam, mam zagwostkę z takim oto zadaniem:

Znaleźć przekształcenia afiniczne przestrzeni E3, spełniające jeden z warunków:

a.) osie danego afinicznego układu współrzędnych są prostymi niezmienniczymi.
b.) punkty osi Ox3 są punktami stałymi.
c.) płaszczyzna Ox1x2 jest niezmiennicza.

Oprócz tego, moje pytanie brzmi: jaka jest różnica w sformułowaniu: punkty osi p (prostej p, płaszczyzny pi) są punktami stałymi, a prosta ta (odpowiednio płaszczyzna) jest prostą / płaszczczyną niezmienniczą (względem danego przekształcenia afinicznego). Jeżeli te fakty nie są równoważne, to jak przekłada się to na sposób rozwiązania powyższego problemu??

Będę bardzo wdzięczny za rozwiązaniu lub przynajmniej wskazówki i odpowiedź na to pytanie.


irena
postów: 2636
2011-09-15 23:18:20

Nie pomogę w rozwiązaniu.

Ale to, że prosta jest niezmiennicza względem przekształcenia oznacza, że obrazem tej prostej jest ona sama. (Na przykład w symetrii środkowej względem punktu leżącego na prostej - obrazem prostej jest ona sama, ale jej punkty, poza środkiem symetrii, zmieniają położenie).

Jeśli niezmiennicze są wszystkie punkty prostej, to znaczy, że obrazem KAŻDEGO PUNKTU tej prostej jest ten sam punkt (na przykład w symetrii osiowej względem prostej k wszystkie punkty prostej k są punktami niezmienniczymi).


saddamk666
postów: 2
2011-09-16 17:41:52

Dobrze, rozumiem. Teraz, przekształcenie afiniczne (w E3) ma postać $\begin{cases} y^{1}= a_{1} x^{1}+ a_{2} x^{2}+ a_{3} x^{3}+ a_{4}\\ y^{2}= b_{1}x ^{1}+b _{2}x ^{2}+b _{3}x ^{3}+b _{4}\\y ^{3}=c _{1}x ^{1}+c _{2}x ^{2}+c _{3}x ^{3}+c _{4} \end{cases}$
(Górne indeksy numerują współrzędne, natomiast dolne indeksy numerują współczynniki.) Ewentualnie macierzowo:


$\left[\begin{array}{c} y^{1} \\y ^{2}\\y ^{3}\\1 \end{matrix}\right.]= \left[\begin{array}{cccc} a _{1}& a _{2}&a _{3}&a _{4}\\b _{1}&b _{2}&b _{3}&b _{4}\\c _{1}&c _{2}&c _{3}&c _{4}\\0&0&0&1\end{matrix}\right.] \cdot \left[\begin{array}{c}x ^{1} \\x ^{2} \\x ^{3}\\1\end{matrix}\right.]$

Z tego co wiem, należy wykorzystać m.in. równanie parametryczne odpowiednich prostych / płaszczyzn.
Wstawiam więc:
$a.)\\ 1.) Ox^{1}: x ^{1}=t, x ^{2}=0, x ^{3}=0, \\2.) Ox^{2}: x ^{1}=0, x ^{2}=t, x ^{3}=0,\\ 3.) Ox ^{3}: x ^{1}=0, x^{2}=0, x ^{3}=t.$
Co wstawiać za y? Nie mogę wstawiać tych samych punktów w żadnych przypadku,, bo to proste są niezmiennicze, a nie punkty na nich.

b.) Tutaj stałe są punkty, więc raczej mogę wstawić za x, i y: $Ox ^{3}: x ^{1}=0, x ^{2}=0, x ^{3}=t.$

c.) Tutaj znowu chyba nie może być za x, i y to samo, bo ma wyjść punkt tej samej płaszczyzny, ale niekoniecznie ten sa (płaszczyzna niezmiennicza): Za x, wstawiam: $Ox ^{1}x ^{2}: x ^{1}=t, x ^{2}=s, x ^{3}=0.$Co wstawić za y?

Proszę od podpowiedź co wstawić za x, i y we wszystkich przypadkach w układzie równań (lub w równaniu macierzowym), i jakie wnioski na temat współczynników a,b,c, płyną z rozwiązania tych równań.

Wiadomość była modyfikowana 2011-09-16 18:43:52 przez Mariusz Śliwiński
strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj