Analiza matematyczna, zadanie nr 1541

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
witkor1 postów: 7	2013-09-24 22:42:25 Zbadaj zbieżność całek niewłaściwych: 1) $\int_{0}^{\infty}\frac{x}{x^{3}+8}dx$ 2) $\int_{0}^{\infty}\frac{x}{x^{2}+3x+4}dx$ 3) $\int_{0}^{\infty}\frac{x^{2}}{x^{2}+x+1}dx$ Wiadomość była modyfikowana 2013-09-24 22:44:10 przez witkor1

tumor postów: 8070	2013-09-25 09:21:07 Zauważamy, że wszystko jest nieujemne, czyli się znakami przejmować nie trzeba. Całka $\int_1^\infty \frac{1}{x^2}dx$ jest zbieżna, a $\int_1^\infty \frac{1}{x}dx$ i $\int_a^\infty cdx$ dla $c>0$ i $a\in R$ są rozbieżne. I z nimi będziemy porównywać. 1) $\frac{x}{x^3+8}\le \frac{x}{x^3}=\frac{1}{x^2}$ dla $x>0$, do tego wypada pokazać, że funkcja z zadania jest w przedziale $[0,1]$ ograniczona, co dość oczywiste.

tumor postów: 8070	2013-09-25 09:24:21 2) $\frac{x}{x^2+3x+4}\ge \frac{x}{x^2+3x^2+4x^2}=\frac{1}{8x} $ dla $x\ge 1$ W tym przedziale nieujemna rozbieżna, a w większym - nieujemna, zatem też rozbieżna.

tumor postów: 8070	2013-09-25 09:32:02 3) Na przykład zauważamy, że funkcja jest ciągła, a granicą funkcji w nieskończoności jest $1$. Czyli istnieje $a \in [1,\infty]$ takie, że dla $x\ge a$ funkcja przyjmuje wartości większe niż $\frac{1}{2}$. A całka $\int_a^\infty \frac{1}{2}dx$ rozbieżna.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj