Topologia, zadanie nr 1598

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
cukierek123 postów: 15	2013-10-19 21:01:20 Niech d1,d2 metryka na X. sprawdić czy d jest metryką 1) Alfad1+betad2, alfa i beta należa do R+ d(x,y)=alfad1(x,y)+betad2(x,y) 2) d=max{d1,d2} d=min{d1,d2} 3)d=d1/1+d1 4) d=min{1,d1} 5) d=max{1,d1} 6) d= pierwiastek z d1 d=d1^2->d(x,y)= [d1(x,y)]^2

tumor postów: 8070	2013-10-20 08:43:37 PROSZĘ, postaraj się zadania zapisać CZYTELNIE. $d_1,d_2$ - metryki 1)$\alpha,\beta \in R^+$ $d(x,y)=\alpha d_1(x,y) +\beta d_2(x,y)$ Sprawdzamy trzy warunki. a) $d(x,y)=0 \iff x=y$ Mamy $d(x,y)=0 \iff \alpha d_1(x,y) +\beta d_2(x,y)=0 \iff \alpha d_1(x,y)=0 \wedge \beta d_2(x,y)=0 \iff d_1(x,y)=0 \wedge d_2(x,y)=0 \iff x=y$ czyli warunek spełniony b) $d(x,y)=d(y,x)$ Mamy $d(x,y)=\alpha d_1(x,y) +\beta d_2(x,y)=\alpha d_1(y,x) +\beta d_2(y,x)=d(y,x)$, czyli spełniony c) $d(x,y)\le d(x,z)+d(z,y)$ Mamy $d(x,y)=\alpha d_1(x,y) +\beta d_2(x,y) \le \alpha (d_1(x,z)+d_1(z,y)) + \beta(d_2(x,z)+d_2(z,y))=d(x,z)+d(z,y)$ czyli spełniony. Prawdopodobnie problem masz nie tyle z topologią, ile z czytaniem ze zrozumieniem.

tumor postów: 8070	2013-10-20 09:05:39 2) Rozwiązujemy dokładnie identycznie jak przykład wyżej. $d(x,y)=max(d_1(x,y),d_2(x,y))$ a) $d(x,y)=0 \iff max(d_1(x,y),d_2(x,y))=0 \iff d_1(x,y)=d_2(x,y)=0 \iff x=y$ b) $d(x,y)=max(d_1(x,y),d_2(x,y))=max(d_1(y,x),d_2(y,x))=d(y,x)$ c) $d(x,y)=max(d_1(x,y),d_2(x,y)) \le max(d_1(x,z)+d_1(z,y),d_2(x,z)+d_2(z,y))\le max(d_1(x,z),d_2(x,z))+max(d_1(z,y),d_2(z,y))=d(x,z)+d(z,y)$ i to samo z minimum z drobnymi różnicami a) $d(x,y)=0 \iff min(d_1(x,y),d_2(x,y))=0 \iff d_1(x,y)=0 \vee d_2(x,y)=0 \iff x=y$ b) jak wyżej c) wreszcie coś ciekawego. Tu trzeba sięgnąć myślą dalej, bo NIEKONIECZNIE $min(d_1(x,z)+d_1(z,y),d_2(x,z)+d_2(z,y))\le min(d_1(x,z),d_2(x,z))+min(d_1(z,y),d_2(z,y))$ na przykład gdy $d_1(x,y)=d_2(x,y)=d_1(x,z)=d_2(z,y)=3$ i $d_1(z,y)=d_2(x,z)=1$. Wówczas $d(x,y)=3$, jednak $d(x,z)+d(z,y)=2$

tumor postów: 8070	2013-10-20 09:27:05 3) $d(x,y)=\frac{d_1(x,y)}{1+d_1(x,y)}$ a)$d(x,y)=0 \iff d_1(x,y)=0 \iff x=y$ b) $d(x,y)=\frac{d_1(x,y)}{1+d_1(x,y)}=\frac{d_1(y,x)}{1+d_1(y,x)}=d(y,x)$ c) Tu dla uproszczenia zapisu zauważymy sobie coś na literkach. Niech $a,b,c\ge 0$ i niech $c\le a+b$ Mamy $\frac{c}{1+c}\le \frac{a+b}{1+a+b}$ (łatwo się o tym przekonać mnożąc obie strony przez mianowniki) Mamy także $\frac{a+b}{1+a+b}\le \frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}$ (bowiem $\frac{a}{1+a+b}\le \frac{a}{1+a}$ i $\frac{b}{1+a+b}\le \frac{b}{1+b}$ ). Podstawiając $c=d_1(x,y), a=d_1(x,z), b=d_1(z,y) $ otrzymujemy $ d(x,y)=\frac{c}{1+c}\le \frac{a+b}{1+a+b}\le \frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}=d(x,z)+d(z,y)$ (Podstawienie nie jest konieczne, ale bez niego rachunki są mniej czytelne)

tumor postów: 8070	2013-10-20 09:41:59 4) $d(x,y)=min(1,d_1(x,y))$ a)$d(x,y)=0 \iff d_1(x,y)=0 \iff x=y$ b) $d(x,y)=min(1,d_1(x,y))=min(1,d_1(y,x))=d(y,x)$ c) jeśli $min(1,d_1(x,y))=d_1(x,y)$, to także $d_1(x,y) \le min(2,1+d_1(x,z),1+d_1(z,y),d_1(x,z)+d_1(z,y)) \le min(1,d_1(x,z))+min(1,d_1(z,y))$, podobnie, jeśli $min(1,d_1(x,y))=1$, to $1\le min(2,1+d_1(x,z),1+d_1(z,y),d_1(x,z)+d_1(z,y)) \le min(1,d_1(x,z))+min(1,d_1(z,y))$

tumor postów: 8070	2013-10-20 09:44:31 5) coś szybkiego. a) d(x,x)=1, nie jest metryką.

tumor postów: 8070	2013-10-20 10:14:14 6) $d(x,y)=\sqrt{d_1(x,y)}$ a) $d(x,y)=0 \iff \sqrt{d_1(x,y)}=0 \iff d_1(x,y)=0 \iff x=y$ b) $d(x,y)=\sqrt{d_1(x,y)}=\sqrt{d_1(y,x)}=d(y,x)$ c) dla $a,b\ge 0$ mamy $\sqrt{a+b}\le \sqrt{a}+\sqrt{b}$ (widać, gdy podniesiemy stronami do kwadratu), podstawmy $a=d_1(x,z), b=d_1(z,y)$, wtedy $d(x,y)=\sqrt{d_1(x,y)}\le \sqrt{a+b}\le \sqrt{a}+\sqrt{b} = d(x,z)+d(z,y)$ ---- podobnie dla $d(x,y)=[d_1(x,y)]^2$ a) $d(x,y)=0 \iff [d_1(x,y)]^2=0 \iff d_1(x,y)=0 \iff x=y$ b) $d(x,y)=[d_1(x,y)]^2=[d_1(y,x)]^2=d(y,x)$ c) Jednakże dla $a,b>0$ mamy $(a+b)^2>a^2+b^2$ i stąd na przykład $d_1(x,y)=3, d_1(x,z)=d_1(z,y)=2$ ale $d(x,y)=9>8=d(x,z)+d(z,y)$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj