Inne, zadanie nr 1609

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
polkiuyt postów: 34	2013-10-21 21:47:26 Dowieść, że zbiór $R\backslash Q$ nie jest zbiorem typu F'sigma' a zbiór Q nie jest zbiorem typu G $\delta$ w R.

tumor postów: 8070	2013-10-21 22:40:28 Mamy twierdzenie Baire'a, że w przestrzeni zupełnej przeliczalna suma domkniętych zbiorów nigdziegęstych jest zbiorem brzegowym. Wiemy, że $Q$ to zbiór $F_\sigma$, czyli przeliczalna suma zbiorów domkniętych (bo to przeliczalna suma zbiorów jednoelementowych, które są domknięte w topologii naturalnej na $R$). Dopełnienie $Q$, czyli $R\backslash Q$ musi być zbiorem $G_\delta$. Gdyby także $R\backslash Q$ było $F_\sigma$ (albo gdyby $Q$ było $G_\delta$), to jako dopełnienia zbiorów typu $F_\sigma$, zbiory $Q$ i $R\backslash Q$ byłyby zarazem zbiorami typu $G_\delta$ i $F_\sigma$. Przypuśćmy, że $R\backslash Q$ jest $F_\sigma$, to znaczy jest przeliczalną sumą zbiorów domkniętych $A_n$. Domknięty podzbiór $R\backslash Q$ jest nigdziegęsty, podobnie jednoelementowe podzbiory $Q$ są nigdziegęste. $R$ dałoby się przestawić jako przeliczalną sumę zbiorów nigdziegęstych, zatem $R$ byłby brzegowy w $R$, co nie jest prawdą.

tumor postów: 8070	2014-02-21 08:46:47 Dodam tu może wyjaśnienie faktu w ostatnim akapicie. Domknięty podzbiór $R\backslash Q$ jest równy swojemu domknięciu. Ma puste wnętrze, zatem i wnętrze domknięcia, stąd - jest nigdziegęsty.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj