Inne, zadanie nr 1609
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
polkiuyt post贸w: 34 |  2013-10-21 21:47:26Dowie艣膰, 偶e zbi贸r $R\backslash Q$ nie jest zbiorem typu F\'sigma\' a zbi贸r Q nie jest zbiorem typu G $\delta$ w R. |
tumor post贸w: 8070 | 2013-10-21 22:40:28 Mamy twierdzenie Baire\'a, 偶e w przestrzeni zupe艂nej przeliczalna suma domkni臋tych zbior贸w nigdzieg臋stych jest zbiorem brzegowym. Wiemy, 偶e $Q$ to zbi贸r $F_\sigma$, czyli przeliczalna suma zbior贸w domkni臋tych (bo to przeliczalna suma zbior贸w jednoelementowych, kt贸re s膮 domkni臋te w topologii naturalnej na $R$). Dope艂nienie $Q$, czyli $R\backslash Q$ musi by膰 zbiorem $G_\delta$. Gdyby tak偶e $R\backslash Q$ by艂o $F_\sigma$ (albo gdyby $Q$ by艂o $G_\delta$), to jako dope艂nienia zbior贸w typu $F_\sigma$, zbiory $Q$ i $R\backslash Q$ by艂yby zarazem zbiorami typu $G_\delta$ i $F_\sigma$. Przypu艣膰my, 偶e $R\backslash Q$ jest $F_\sigma$, to znaczy jest przeliczaln膮 sum膮 zbior贸w domkni臋tych $A_n$. Domkni臋ty podzbi贸r $R\backslash Q$ jest nigdzieg臋sty, podobnie jednoelementowe podzbiory $Q$ s膮 nigdzieg臋ste. $R$ da艂oby si臋 przestawi膰 jako przeliczaln膮 sum臋 zbior贸w nigdzieg臋stych, zatem $R$ by艂by brzegowy w $R$, co nie jest prawd膮. |
tumor post贸w: 8070 | 2014-02-21 08:46:47 Dodam tu mo偶e wyja艣nienie faktu w ostatnim akapicie. Domkni臋ty podzbi贸r $R\backslash Q$ jest r贸wny swojemu domkni臋ciu. Ma puste wn臋trze, zatem i wn臋trze domkni臋cia, st膮d - jest nigdzieg臋sty. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj