Algebra, zadanie nr 1612
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
falkapp post贸w: 6 |  2013-10-24 19:25:17Dla kazdego n $\in$ N nich bedzie: S(n):=$\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i}$ Udowodnic za pomoca indukcji matematycznej, ze: $\forall_{n \in N}$ : S($2^{n}) \le$ n + 1 Nalezy posluzyc sie wskazowka: a<b<c $\Rightarrow$ a+a+a < a+b+c . |
tumor post贸w: 8070 | 2013-10-26 13:46:59 Sprawdzamy dla $n=0$, $S(2^0)=S(1)=\frac{1}{1}\le 0+1$ czyli dzia艂a. Zak艂adamy, 偶e dla pewnego $n$ mamy $S(2^n)\le n+1$ $S(2^{n+1})=\sum_{i=1}^{2^{n+1}}\frac{1}{i}= \sum_{i=1}^{2^{n}}\frac{1}{i}+\sum_{i=2^n+1}^{2^{n+1}}\frac{1}{i}= S(2^n)+\sum_{i=2^n+1}^{2^{n+1}}\frac{1}{i}$ Pami臋tamy, mieli艣my $S(2^n)\le n+1$, natomiast $\sum_{i=2^n+1}^{2^{n+1}}\frac{1}{i}$ to suma $2^n$ sk艂adnik贸w, z kt贸rych najwi臋kszy to $\frac{1}{2^{n}+1}$. Zatem $\sum_{i=2^n+1}^{2^{n+1}}\frac{1}{i}\le \frac{2^n}{2^{n}+1}\le 1$ Co dowodzi szukanej nier贸wno艣ci dla ka偶dego $n$. Wskaz贸wki jako艣 艣ci艣le nie u偶y艂em, jej 艣lad odnajdujemy przy szacowaniu sumy z g贸ry. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj