Topologia, zadanie nr 1617
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
kasia93 post贸w: 65 |  2013-10-26 16:44:22Sprawdzi膰 czy funkcja d:N x N--->R(N oznacza zbior liczb naturalnych) okreslona wzorem : d(n,m)=|1/n-1/m| jest metryka w zbiorze N. |
tumor post贸w: 8070 | 2013-10-26 22:14:02 Ostatnio zrobi艂em sporo zada艅 z metryk na forum. Tak si臋 zastanawiam, czemu jest problem. Masz wyk艂ad. M贸wi膮 ci o trzech warunkach, kt贸re funkcja musi spe艂nia膰. Odr贸偶niasz balsam od mleczka do cia艂a, kolczyk od klipsa i cz贸艂enka od balerinek. U偶yj tych samych narz膮d贸w do patrzenia i rozpoznawania metryk. Z trzech warunk贸w dwa s膮 niesamowicie 艂atwe. Pierwszy m贸wi o jedynym przypadku, kiedy metryka parze $(m,n)$ przyporz膮dkowuje $0$. Ten przypadek to $m=n$. I patrzysz, czy je艣li b臋dziesz mie膰 $n=m$, to $d(n,m)=0$. B臋dzie? No b臋dzie, bo $|\frac{1}{n}-\frac{1}{m}|=|\frac{1}{m}-\frac{1}{m}|=|0|=0$. A teraz zastanawiasz si臋, czy jest mo偶liwy inny przypadek, tzn $m\neq n$, ale jednocze艣nie $d(m,n)=0$. Nie, oczywi艣cie nie jest mo偶liwy, bo je艣li $m\neq n$, to tak偶e $\frac{1}{n}\neq \frac{1}{m}$, zatem ich r贸偶nica (niezale偶nie od kolejno艣ci odejmowania) b臋dzie niezerowa, zatem i modu艂 tej r贸偶nicy b臋dzie niezerowy. Nie u偶ywa si臋 tu 偶adnej wiedzy wykraczaj膮cej poza podstawy warto艣ci bezwzgl臋dnej i por贸wnywania u艂amk贸w, to znaczy same podstawy licealne. Drugi warunek te偶 jest dla dzieci. Trzeba ustali膰, czy zmiana kolejno艣ci argument贸w co艣 zmienia w warto艣ci. Czyli czy $d(m,n)$ jest tym samym co $d(n,m)$ zawsze, czy mo偶e jest cho膰 jeden wyj膮tek od regu艂y. Ale jest zawsze. Bo liczby $\frac{1}{n}-\frac{1}{m}$ i $\frac{1}{m}-\frac{1}{n}$ s膮 przeciwne, czyli maj膮 t臋 sam膮 warto艣膰 bezwzgl臋dn膮. Liczby przeciwne. Gimnazjum. Trzeci warunek jest zazwyczaj 艂atwy, cho膰 s膮 metryki, w kt贸rych sprawdzenie go jest bardziej uci膮偶liwe. Wyobra藕 sobie najkr贸tsz膮 tras臋 mi臋dzy dwoma punktami. Jest dla ciebie jasne, 偶e je艣li wymaga膰 b臋dziesz, by mi臋dzy tymi punktami odwiedzi膰 jeszcze trzeci, to albo trasy nie zmienisz (gdy ten punkt ju偶 na niej le偶a艂 przypadkiem), albo j膮 wyd艂u偶ysz. I tego si臋 wymaga od metryki - by dodanie punktu po艣redniego zostawia艂o odleg艂o艣膰 bez zmian lub zwi臋ksza艂o, ale nie zmniejsza艂o jej. Czyli $d(m,n)\le d(m,k)+d(k,n)$ W tym przypadku nale偶y sprawdzi膰, czy $|\frac{1}{m}-\frac{1}{n}| \le |\frac{1}{m}-\frac{1}{k}|+|\frac{1}{k}-\frac{1}{n}|$ Ale zn贸w odwo艂amy si臋 do wiedzy licealnej o warto艣ci bezwzgl臋dnej. Mamy $|a+b|\le |a|+|b|$ dla ka偶dych $a,b\in R$. czyli podstawiaj膮c $a=\frac{1}{m}-\frac{1}{k}$ $b=\frac{1}{k}-\frac{1}{n}$ dostajemy w艂a艣nie t臋 nier贸wno艣膰, o kt贸r膮 nas proszono. I o co chodzi? Dlaczego to jest problem? |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj