Topologia, zadanie nr 1625
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
kasia93 post贸w: 65 |  2013-10-28 14:22:11Niech zbior N bedzie wyposa偶ony w metryk臋 d(n,m)=|1/-1/m|: a) pokaza膰 , 偶e N jest ograniczony i wyznaczyc diam N, b) znalez膰 K(2,1/3) i kule zamknieta K(2,1/3) c) pokazac ze kazdy podzbior zbioru N jest jednoczesnie domkniety i otwarty d)wyznaczyc Fr(n nalezy do N : n>badz rowne 3) e)czy N jest przestrzenia spojna? |
tumor post贸w: 8070 | 2013-10-28 17:18:41 a) $diam N=sup\{d(m,n): m,n\in N\}=sup\{|\frac{1}{m}-\frac{1}{n}|: m,n\in N\}$. Oczywi艣cie dla $n\in N$ mamy $\frac{1}{n}\le 1$, dla $n=1$ mamy $\frac{1}{n}=1$ oraz dla ka偶dego $\epsilon>0$ istnieje $n\in N$, 偶e $\frac{1}{n}<\epsilon$. St膮d $sup\{|\frac{1}{m}-\frac{1}{n}|: m,n\in N\}=1$ Skoro $diam N<\infty$ to $N$ ograniczony (definicja ograniczono艣ci w p. metrycznych) |
tumor post贸w: 8070 | 2013-10-28 21:26:24 b) $K(2,\frac{1}{3})=\{m\in N: |\frac{1}{2}-\frac{1}{m}|<\frac{1}{3}\}$ $\overline{K}(2,\frac{1}{3})=\{m\in N: |\frac{1}{2}-\frac{1}{m}|\le\frac{1}{3}\}$ Zauwa偶my, 偶e $m=1$ nie spe艂nia 偶adnej z nier贸wno艣ci, czyli $m\ge 2$, czyli $|\frac{1}{2}-\frac{1}{m}|$ mo偶emy zast膮pi膰 przez $\frac{1}{2}-\frac{1}{m}$. $\frac{1}{2}-\frac{1}{m}<\frac{1}{3}$ $\frac{1}{6}<\frac{1}{m}$ $K(2,\frac{1}{3})=\{2,3,4,5\}$ $\overline{K}(2,\frac{1}{3})=\{2,3,4,5,6\}$ |
tumor post贸w: 8070 | 2013-10-28 21:31:38 c) ten sam warunek mo偶na wyrazi膰: \"zbiory jednopunktowe s膮 otwarte\". W贸wczas ka偶dy zbi贸r jest otwarty, a zatem dope艂nienia wszystkich zbior贸w s膮 domkni臋te. Zatem sprawdzamy, 偶e dla ka偶dego $n\in N$ istnieje kula $K(n,r)=\{n\}$ Zatem $r<|\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}|$. Wystarczy zatem dobra膰 $r=\frac{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}{2}$. Przestrze艅, w kt贸rej zbiory jednopunktowe s膮 otwarte, nazywamy dyskretn膮. |
tumor post贸w: 8070 | 2013-10-28 21:33:56 e) Przestrze艅 dyskretna mo偶e by膰 sp贸jna tylko wtedy, gdy sk艂ada si臋 z najwy偶ej jednego punktu. W przeciwnym razie wybieramy dowolny punkt $x$, zbi贸r $\{x\}$ jest otwarty i dope艂nienie tego zbioru te偶 jest otwarte (i jest niepuste), czyli przestrze艅 sp贸jna nie jest. d) Fr co znaczy? Brzeg? Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2013-10-28 21:35:41 przez tumor |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj