Analiza matematyczna, zadanie nr 1630
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
pm12 post贸w: 493 |  2013-10-29 13:44:17wykaza膰 z definicji Cauchy\'ego 偶e $\lim_{n \to \infty}$ $\sqrt[n]{n}$=1 |
tumor post贸w: 8070 | 2013-10-29 15:46:04 Ustalmy $\epsilon>0$ Poka偶emy, 偶e od pewnego n mamy 1) $1-\epsilon\le \sqrt[n]{n} \le 1+\epsilon$ 2) $(1-\epsilon)^n \le n \le (1+\epsilon)^n$ 3) $\frac{(1-\epsilon)^n}{n} \le 1 \le \frac{(1+\epsilon)^n}{n}$ lewa strona jest oczywista, bo naturalne pot臋gi liczby mniejszej od $1$ s膮 mniejsze od $1$, a po podzieleniu przez $n$ b臋dzie tym bardziej mniej ni偶 $1$. Po prawej mamy w liczniku funkcj臋 wyk艂adnicz膮, w mianowniku liniow膮. Dla $a>1$ mamy $\lim_{n \to \infty}\frac{a^n}{n}=\infty$ (co by艂o zapewne ju偶 dowodzone), wi臋c od pewnego $n$ pocz膮wszy prawa strona jest wi臋ksza ni偶 $1$. Je艣li na wyk艂adzie nie by艂o granicy, o kt贸rej m贸wi艂em, to prosz臋 si臋 odezwa膰, przerobimy. (Mo偶na te偶 z literatury wzi膮膰) Przekszta艂canie $1)\rightarrow 2) \rightarrow 3)$ jest wygodne, natomiast formalnie dow贸d przebiega w przeciwnym kierunku, od linii ostatniej, kt贸ra jest pewna (oczywi艣cie pewna pocz膮wszy od pewnego, odpowiednio du偶ego n) do pierwszej. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj