Logika, zadanie nr 1634
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
falkapp post贸w: 6 |  2013-10-30 14:37:32Witam! Moim zadaniem jest udowodnic za pomoca dowodu nie wprost, ze rownanie: $63x^{2}=36$ nie ma rozwiazania w zbiorze liczb wymiernych. Uzylam do tego metody dowodzenia, ze $\sqrt{2}$ nie jest liczba wymierna, jednak nie jestem pewna, czy zrobilam to prawidlowo. Bardzo prosze o sprawdzenie: Przypuszczenie:$63x^{2}=36$ Dowodzenie: Dowod nie wprost. Przyjmujemy przeciwienstwo przypuszczenia i udowadniamy jego sprzecznosc. Zalozenie: $63x^{2}=36$ ma rozwiazanie w zbiorze liczb wymiernych. Przyjmujemy, ze $x=\frac{p}{q};$ (p,q)$\in $N: nwd (najwiekszy wspolny dzielnik)(p,q)=1 , wtedy: $x^{2}=p^{2}/q^{2}$ $\Rightarrow$ $63p^{2}=36q^{2}$ $p^{2}=\frac{3\cdot3\cdot4}{3\cdot3\cdot7} q^{2}$ Poniewaz $p^{2}$ jest liczba parzysta, mozna ja zapisac jako 2n (gdzie n$\in C$). Mamy wtedy: $(2n)^{2}= \frac{4}{7}q^{2} \iff 4n^{2}=\frac{4}{7}q^{2} \iff 7n^{2}=q^{2}$ Z tego wynika, ze $q^{2}$ takze jest liczba parzysta, a co za tym idzie, p i q mozna podzielic przez 2. Przyjelismy jednak, ze nwd(p,q)=1, wiec jest to sprzecznosc! Nasza teza jest falszywa, wiec jej przeciwienstwo musi byc prawda. Czy to wystarczy jako dowod nie wprost? |
tumor post贸w: 8070 | 2013-10-30 15:37:23 Przypuszczenie nale偶y napisa膰 pe艂nym zdaniem, tzn $63x^2=36$ nie ma rozwi膮za艅 wymiernych (tam chyba pomin臋艂a艣 komentarz, ale jednak trzeba napisa膰) Potem piszesz, 偶e z r贸wnania $7n^2=q^2$ WYNIKA, 呕E $q^2$ JEST PARZYSTA. A mo偶esz mi wyja艣ni膰, dlaczego niby wynika, 偶e jest parzysta? :) Ja bym zapisa艂 rzecz tak: $63x^2=36$ Podstawiamy $x=\frac{p}{q}$, gdzie $NWD(p,q)=1$ $63p^2=36q^2$ Dzielimy obie strony przez $9$ $7p^2=4q^2$ Tu prawa strona jest parzysta, bo dzieli si臋 na $4$. Zatem lewa jest parzysta. Skoro $7$ si臋 nie dzieli na $2$, to $p^2$ si臋 dzieli na $2$, czyli $p$ si臋 dzieli na $2$. Zatem rzeczywi艣cie mo偶na podstawi膰 $p=2n$ $7(2n)^2=4q^2$ $7*4n^2=4q^2$ i dzielimy przez $4$ $7n^2=q^2$ Do tego miejsca liczy艂a艣 dobrze, ja przekszta艂ca艂em minimalnie inaczej, natomiast r贸wnanie mamy to samo. Ale teraz nic nie wiemy o parzysto艣ci. Wydaje mi si臋, 偶e przepisa艂a艣 dow贸d dla $\sqrt{2}$ bez zrozumienia go. W tym dowodzie dla $\sqrt{2}$ rzeczywi艣cie korzysta si臋 z podzielno艣ci przez $2$. Ale w dzisiejszym zadaniu skorzystamy z podzielno艣ci przez $7$. Mamy $7n^2=q^2$ Czyli lewa strona jest podzielna przez $7$, prawda? A skoro strony s膮 r贸wne, to prawa te偶 musi by膰 podzielna przez $7$, czyli mo偶emy zapisa膰 $q=7k$ $7n^2=(7k)^2$ $7n^2=49k^2$ i dzielimy przez $7$ $n^2=7k^2$. Ale teraz prawa strona jest podzielna przez $7$, wi臋c lewa te偶 musi. Czyli tak偶e $n$ jest podzielne przez $7$. A wiemy, 偶e $p=2n$, czyli je艣li $n$ jest podzielne przez $7$, to i $p$ jest podzielne przez $7$. Tak偶e $q$ wysz艂o nam podzielne przez $7$. I st膮d rzeczywi艣cie sprzeczno艣膰, bo zak艂adali艣my, 偶e $NWD(p,q)=1$. A skoro tak, to przypuszczenie jest prawdziwe. ---- Zatem ilo艣膰 tekstu by艂a wystarczaj膮ca na dow贸d nie wprost, ale by艂o to zrobione bez zrozumienia, wi臋c w pewnym miejscu bez sensu. :) To trzeba rozumie膰, a nie po prostu s艂owa pisa膰. ---- Dow贸d musi by膰 przekonuj膮cy. Najlepiej, je艣li jednocze艣nie przekona matematyk贸w i maszyn臋. Akurat ten zapisany jest nie do艣膰 formalnie, by go sprawdzi膰 maszyn膮, zatem mamy kwesti臋 przekonania ludzi. Czy Ciebie przekonuje ten dow贸d? A ten z $\sqrt{2}$? Bo je艣li idea dowodu jest dla Ciebie niejasna, to potrzeba t艂umaczenia podstaw. Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2013-10-30 15:39:47 przez tumor |
falkapp post贸w: 6 | 2013-10-30 15:57:55 Dziekuje za tak dokladne wytlumaczenie! Szczerze mowiac mialam pewne watpliwosci co do mojego rozwiazania, wydawalo sie wprawdzie w jakims stopniu logiczne, ale mimo to troche naciagniete (zbyt duze \"zapozyczenia\" z dowodu dla $\sqrt{2}$), dlatego poprosilam o pomoc :) Po przeczytaniu Twojej odpowiedzi zastanawiam sie, dlaczego sama na to nie wpadlam... Jak zwykle, gdy zabieram sie za dowodzenie :( |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj