Analiza matematyczna, zadanie nr 1640
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
lazy2394 post贸w: 50 |  2013-11-02 17:04:14Udowodnij indukcyjnie: a) $\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{(2i-1)(2i+1)} = \frac{n}{2n+1}$ b) $\sum_{i=0}^{k} {m \choose i} * {n \choose k-i} = {m+n \choose k}$ Powyzsze poprawilem zamiast pierwszego n ma byc m. Udowodnij 偶e dla ka偶dej liczby naturalnej n i dla ka偶dej liczby pierwszej p : a) $p|n^{p}-n$ Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2013-11-03 09:28:55 przez lazy2394 |
mimi post贸w: 171 | 2013-11-02 19:58:21 a.) $\sum_{i=1}^{1} \frac{1}{(2i - 1)(2i + 1)} = \frac{1}{3} = \frac{1}{2\cdot 1 + 1}$ $\sum_{i=1}^{n+1} \frac{1}{(2i - 1)(2i + 1)} = \frac{1}{(2(n+1) - 1)(2(n+1) + 1)} + \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{(2i - 1)(2i + 1)} = \frac{n}{2n + 1} + \frac{1}{(2n + 1)(2n + 3)} = \frac{n(2n+3) + 1}{(2n + 1)(2n + 3)} = $ $ = \frac{2n^{2} + 3n + 1}{(2n + 1)(2n + 3)} = \frac{2n^{2} + 2n + n + 1}{(2n + 1)(2n + 3)} = \frac{(2n + 1)(n + 1)}{(2n+1)(2n+3)} = \frac{n + 1}{2(n+1) + 1}$ |
tumor post贸w: 8070 | 2014-06-27 12:24:37 3. Dla $p=2$ rzecz jest oczywista, po prawej mamy r贸偶nic臋 dw贸ch liczb parzystych lub dw贸ch nieparzystych. W og贸lno艣ci sobie zrobimy indukcyjnie ze wzgl臋du na $n$. Ustalmy liczb臋 pierwsz膮 $p$. Dla n=1 oczywi艣cie $p|0$. Przypu艣膰my, 偶e mamy $p|n^p-1$ Zauwa偶my, 偶e $(n+1)^p-(n+1)=\sum_{i=0}^{p}{p \choose i}n^i-n-1$ Przy tym $p|{p \choose i}$ dla $0<i<p$, no i $p|n^p-n$, a skoro $\sum_{i=1}^{p-1}{p \choose i}n^i+n^p-n= \sum_{i=1}^{p-1}{p \choose i}n^i+1-1 +n^p-n= \sum_{i=0}^{p}{p \choose i}n^i-n-1=(n+1)^p-(n+1) to p|(n+1)^p-(n+1)$ |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj