Topologia, zadanie nr 1646
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
kasia93 post贸w: 65 |  2013-11-04 14:53:101. Znale藕膰 punkty skupienia ci膮g贸w liczbowych : 1)xn=1/n dla n nale偶膮cych do N 2)xn=n 3)xn=1+(-1)^n gdzie xn jest dowolnym ci膮giem zbie偶nym w prz. metrycznej (R,d) gdzie d(x,y)=|x-y| dla x,y nale偶膮cych do R 2. Wyznaczy膰 kul臋 otwarta , domkni臋t膮 oraz sfer臋 gdy r>b膮d藕 r贸wne 0 w podanych przestrzeniach metrycznych a)(R,d) z metryka euklidesow膮 , lub metryka 0-1 b)(R^2,de) z metryka euklidesowa c)(R^2,dm) z metryk膮 maksimum d)(R^2,dt)z metryka taksowkowa |
tumor post贸w: 8070 | 2013-11-04 18:46:22 1. 1) punktem skupienia jest tylko $0$, poniewa偶 dowolne s膮siedztwo punktu $0$ zawiera punkt $\frac{1}{n}$ dla pewnego $n\in N$. Je艣li $x\neq 0$, to tylko sko艅czona ilo艣膰 wyraz贸w ci膮gu $x_n$ nale偶y do kuli $ K(x,\frac{|x|}{2})$, bior膮c minimum z ich odleg艂o艣ci od $x$ znajdziemy s膮siedztwo $x$ bez punkt贸w wsp贸lnych z ci膮giem. 2) dla ka偶dego $n\in N$ mamy $(K(n,\frac{1}{2})\backslash n)\cap N = \emptyset$, czyli 偶aden $n$ nie jest punktem skupienia. R贸wnie偶 偶aden $x$ nie b臋d膮cy liczb膮 naturaln膮 nie jest punktem skupienia, wystarczy za s膮siedztwo da膰 kul臋 o promieniu r贸wnym odleg艂o艣ci $x$ do najbli偶szej liczby naturalnej, z odj臋tym punktem $x$. |
tumor post贸w: 8070 | 2014-08-11 23:03:17 3). $x_n\in \{0;2\}$ dla $n\in N$ Zbi贸r $\{0;2\}$ jest zbiorem punkt贸w skupienia (to znaczy mo偶liwych granic podci膮g贸w ci膮gu $x_n$) 2. Nie wiem, co ma oznacza膰 $r=0$. W definicji metryki wszak mamy, 偶e $d(x,y)=0 \iff x=y$, zatem kuli otwartej o zerowym promieniu nie ma, z kula domkni臋ta o zerowym promieniu i o 艣rodku $x$ jest r贸wna sferze o zerowym promieniu i 艣rodku $x$ i r贸wna po prostu zbiorowi zawieraj膮cemu jeden punkt $x$. Dlatego rozwa偶am $r>0$ a) dla metryki euklidesowej $K(x,r)=(x-r,x+r)$ $\overline{K}(x,r)=[x-r,x+r]$ $S(x,r)=\{x-r,x+r\}$ dla metryki $0-1$ (dyskretnej) je艣li $r<1$ to $K(x,r)=\{x\}$ $\overline{K}(x,r)=\{x\}$ $S(x,r)=\emptyset$ je艣li $r=1$ to $K(x,r)=\{x\}$ $\overline{K}(x,r)=R$ $S(x,r)=R\backslash \{x\}$ je艣li $r>1$ to $K(x,r)=R$ $\overline{K}(x,r)=R$ $S(x,r)=\emptyset$ |
tumor post贸w: 8070 | 2014-08-11 23:03:30 b) $K(x,r)=\{y: (y_1-x_1)^2+(x_2-y_2)^2<r^2\}$ (geometrycznie rzecz ujmuj膮c to na p艂aszczy藕nie ko艂o (bez brzegu) o 艣rodku $x$ i promieniu $r$) $\overline{K}(x,r)=\{y: (y_1-x_1)^2+(x_2-y_2)^2\le r^2\}$ (ko艂o z brzegiem) $S(x,r)=\{y: (y_1-x_1)^2+(x_2-y_2)^2=r^2\}$ (okr膮g, czyli brzeg ko艂a) c) $K(x,r)=\{y\in R^2: max(|x_1-y_1|,|x_2-y_2|)<r \}$ (geometrycznie to kwadrat (bez brzegu) wyznaczony przez koniunkcj臋 nier贸wno艣ci $x_1-r<y_1<x_1+r$ $x_2-r<y_2<x_2+r$ ) $\overline{K}(x,r)=\{y\in R^2: max(|x_1-y_1|,|x_2-y_2|)\le r \}$ (kwadrat $x_1-r\le y_1\le x_1+r$ $x_2-r\le y_2\le x_2+r)$ $S(x,r)= \overline{K}(x,r) \backslash K(x,r)$ (czyli sam brzeg kwadratu) |
tumor post贸w: 8070 | 2014-08-11 23:03:40 d) $K(x,r)=\{y\in R^2: |x_1-y_1|+|x_2-y_2|<r \}$ (geometrycznie to kwadrat (bez brzegu) wyznaczony przez koniunkcj臋 nier贸wno艣ci $y_1-x_1+x_2-r<y_2<y_1-x_1+x_2+r$ $-(y_1-x_1)+x_2-r<y_2<-(y_1-x_1)+x_2+r )$ $\overline{K}(x,r)=\{y\in R^2: |x_1-y_1|+|x_2-y_2|\le r \}$ (kwadrat jak poprzednio, nier贸wno艣ci s艂abe) $S(x,r)= \overline{K}(x,r) \backslash K(x,r)$ (czyli sam brzeg kwadratu) |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj