Inne, zadanie nr 165
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
| poziomka postów: 1 |  2011-10-17 11:00:37Korzystając z definicji, uzasadnić podane równości: a) lim (7-2x) = 3 x -> 2 b) lim sin x = 0 x -> 0 c) lim \sqrt{x+1} = 2 x -> 3 d) lim \frac{x^{4} - 1}{x^{2} - 1} x -> 1 Mógłby ktoś wytłumaczyć, jak to wszystko robić? Jak przedstawić to definicją? Z góry będę bardzo wdzięczna:) |
| tumor postów: 8070 | 2012-09-21 13:18:28 A z definicji Cauchy'ego czy Heinego? :) Definicja Cauchy'ego mówi, że $y_0$ jest granicą funkcji w $x_0$, jeśli dla dowolnej kuli otwartej $K(y_0,\epsilon)$ istnieje kula otwarta $K(x_0,\delta)$ taka, że dla $x\in K(x_0,\delta)\backslash \{x_0\}$ mamy$f(x) \in K(y_0,\epsilon)$. Albo może prościej: jak małego $\epsilon$ nie wybierzemy, to znajdziemy $\delta$, że jeśli $0<|x-x_0|<\delta$ to $|f(x)-y_0|<\epsilon$ a) Ustalmy $\epsilon>0$ Szukamy $\delta$ takiej, aby $|x-x_0|<\delta \rightarrow |f(x)-y_0|<\epsilon$ $|x-2|<\delta \rightarrow |7-2x-3|<\epsilon$ $|x-2|<\delta \rightarrow |4-2x|<\epsilon$ $|x-2|<\delta \rightarrow 2|x-2|<\epsilon$ $|x-2|<\delta \rightarrow |x-2|<\frac{1}{2}\epsilon$ Zatem $\delta\le\frac{1}{2}\epsilon$ $\epsilon$ wybraliśmy dowolnie, zatem dla każdego znajdziemy $\delta$. b)Ustalmy $\epsilon>0$ Szukamy $\delta$ takiej, aby $|x-x_0|<\delta \rightarrow |f(x)-y_0|<\epsilon$ $|x|<\delta \rightarrow |\sin x|<\epsilon$ Wypada w tym miejscu wiedzieć, że $|\sin x|\le |x|$ (co uzasadnia się geometrycznie. Narysujmy okrąg o promieniu $1$ i środku $(0,0)$ w układzie współrzędnych. Jeśli $\alpha$ jest kątem w mierze łukowej, to zarazem jest długością łuku na okręgu wyznaczonego przez kąt $\alpha$. Natomiast $\sin\alpha$ to tylko odcięta punktu przecięcia ramienia kąta i okręgu). Zatem $\delta\le\epsilon$ c) Ustalmy $\epsilon>0$ Szukamy $\delta$ takiej, aby $|x-x_0|<\delta \rightarrow |f(x)-y_0|<\epsilon$ $|x-3|<\delta \rightarrow |\sqrt{x+1}-2|<\epsilon$ $-\delta<x-3<\delta \rightarrow -\epsilon<\sqrt{x+1}-2<\epsilon$ $-\delta<x-3<\delta \rightarrow 2-\epsilon<\sqrt{x+1}<2+\epsilon$ Dla małych $\epsilon$ (a o takie nam chodzi) nierówność po prawej odpowiada nierówności $4-2\epsilon + \epsilon^2<x+1<4+2\epsilon + \epsilon^2$ $-2\epsilon + \epsilon^2<x-3<2\epsilon + \epsilon^2$ Czy umiemy znaleźć $\delta$, alby $-\delta<x-3<\delta \rightarrow -2\epsilon + \epsilon^2<x-3<2\epsilon + \epsilon^2$ ? Wystarczy, byśmy mieli $-2\epsilon + \epsilon^2<-\delta <x-3<\delta<2\epsilon + \epsilon^2$ A takie warunki spełnia na przykład $\delta=\epsilon^2$ (Na $\epsilon$ i $\delta$ można patrzeć jak na liczby bardzo, bardzo małe. Nie interesuje nas, co się dzieje, gdy są spore. Zupełnie wystarcza poprawne zachowanie, gdy są małe.) d) $\lim_{x \to 1} \frac{x^{4} - 1}{x^{2} - 1}=2$ Zauważmy, że dla $x\neq\pm 1$ mamy $\frac{x^{4} - 1}{x^{2} - 1}=(x^2+1)$ Wystarczy pokazać, że $\lim_{x \to 1}(x^2+1)=2$ Ustalmy $\epsilon>0$ Szukamy $\delta$ takiej, aby $|x-x_0|<\delta \rightarrow |f(x)-y_0|<\epsilon$ $|x-1|<\delta \rightarrow |x^2+1-2|<\epsilon$ $1-\delta<x<1+\delta \rightarrow 1-\epsilon<x^2<1+\epsilon$ Wystarczy nam, jeśli $(1+\delta)^2<1+\epsilon$ oraz $1-\epsilon<(1+\delta)^2$ czyli $1+2\delta+\delta^2<1+\epsilon$ $2\delta+\delta^2<\epsilon$ oraz $-\epsilon<-2\delta+\delta^2$ Te warunki spełnia na przykład $\delta=\frac{\epsilon}{3}$ |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj