Inne, zadanie nr 165
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
poziomka post贸w: 1 |  2011-10-17 11:00:37Korzystaj膮c z definicji, uzasadni膰 podane r贸wno艣ci: a) lim (7-2x) = 3 x -> 2 b) lim sin x = 0 x -> 0 c) lim \sqrt{x+1} = 2 x -> 3 d) lim \frac{x^{4} - 1}{x^{2} - 1} x -> 1 M贸g艂by kto艣 wyt艂umaczy膰, jak to wszystko robi膰? Jak przedstawi膰 to definicj膮? Z g贸ry b臋d臋 bardzo wdzi臋czna:) |
tumor post贸w: 8070 | 2012-09-21 13:18:28 A z definicji Cauchy\'ego czy Heinego? :) Definicja Cauchy\'ego m贸wi, 偶e $y_0$ jest granic膮 funkcji w $x_0$, je艣li dla dowolnej kuli otwartej $K(y_0,\epsilon)$ istnieje kula otwarta $K(x_0,\delta)$ taka, 偶e dla $x\in K(x_0,\delta)\backslash \{x_0\}$ mamy$f(x) \in K(y_0,\epsilon)$. Albo mo偶e pro艣ciej: jak ma艂ego $\epsilon$ nie wybierzemy, to znajdziemy $\delta$, 偶e je艣li $0<|x-x_0|<\delta$ to $|f(x)-y_0|<\epsilon$ a) Ustalmy $\epsilon>0$ Szukamy $\delta$ takiej, aby $|x-x_0|<\delta \rightarrow |f(x)-y_0|<\epsilon$ $|x-2|<\delta \rightarrow |7-2x-3|<\epsilon$ $|x-2|<\delta \rightarrow |4-2x|<\epsilon$ $|x-2|<\delta \rightarrow 2|x-2|<\epsilon$ $|x-2|<\delta \rightarrow |x-2|<\frac{1}{2}\epsilon$ Zatem $\delta\le\frac{1}{2}\epsilon$ $\epsilon$ wybrali艣my dowolnie, zatem dla ka偶dego znajdziemy $\delta$. b)Ustalmy $\epsilon>0$ Szukamy $\delta$ takiej, aby $|x-x_0|<\delta \rightarrow |f(x)-y_0|<\epsilon$ $|x|<\delta \rightarrow |\sin x|<\epsilon$ Wypada w tym miejscu wiedzie膰, 偶e $|\sin x|\le |x|$ (co uzasadnia si臋 geometrycznie. Narysujmy okr膮g o promieniu $1$ i 艣rodku $(0,0)$ w uk艂adzie wsp贸艂rz臋dnych. Je艣li $\alpha$ jest k膮tem w mierze 艂ukowej, to zarazem jest d艂ugo艣ci膮 艂uku na okr臋gu wyznaczonego przez k膮t $\alpha$. Natomiast $\sin\alpha$ to tylko odci臋ta punktu przeci臋cia ramienia k膮ta i okr臋gu). Zatem $\delta\le\epsilon$ c) Ustalmy $\epsilon>0$ Szukamy $\delta$ takiej, aby $|x-x_0|<\delta \rightarrow |f(x)-y_0|<\epsilon$ $|x-3|<\delta \rightarrow |\sqrt{x+1}-2|<\epsilon$ $-\delta<x-3<\delta \rightarrow -\epsilon<\sqrt{x+1}-2<\epsilon$ $-\delta<x-3<\delta \rightarrow 2-\epsilon<\sqrt{x+1}<2+\epsilon$ Dla ma艂ych $\epsilon$ (a o takie nam chodzi) nier贸wno艣膰 po prawej odpowiada nier贸wno艣ci $4-2\epsilon + \epsilon^2<x+1<4+2\epsilon + \epsilon^2$ $-2\epsilon + \epsilon^2<x-3<2\epsilon + \epsilon^2$ Czy umiemy znale藕膰 $\delta$, alby $-\delta<x-3<\delta \rightarrow -2\epsilon + \epsilon^2<x-3<2\epsilon + \epsilon^2$ ? Wystarczy, by艣my mieli $-2\epsilon + \epsilon^2<-\delta <x-3<\delta<2\epsilon + \epsilon^2$ A takie warunki spe艂nia na przyk艂ad $\delta=\epsilon^2$ (Na $\epsilon$ i $\delta$ mo偶na patrze膰 jak na liczby bardzo, bardzo ma艂e. Nie interesuje nas, co si臋 dzieje, gdy s膮 spore. Zupe艂nie wystarcza poprawne zachowanie, gdy s膮 ma艂e.) d) $\lim_{x \to 1} \frac{x^{4} - 1}{x^{2} - 1}=2$ Zauwa偶my, 偶e dla $x\neq\pm 1$ mamy $\frac{x^{4} - 1}{x^{2} - 1}=(x^2+1)$ Wystarczy pokaza膰, 偶e $\lim_{x \to 1}(x^2+1)=2$ Ustalmy $\epsilon>0$ Szukamy $\delta$ takiej, aby $|x-x_0|<\delta \rightarrow |f(x)-y_0|<\epsilon$ $|x-1|<\delta \rightarrow |x^2+1-2|<\epsilon$ $1-\delta<x<1+\delta \rightarrow 1-\epsilon<x^2<1+\epsilon$ Wystarczy nam, je艣li $(1+\delta)^2<1+\epsilon$ oraz $1-\epsilon<(1+\delta)^2$ czyli $1+2\delta+\delta^2<1+\epsilon$ $2\delta+\delta^2<\epsilon$ oraz $-\epsilon<-2\delta+\delta^2$ Te warunki spe艂nia na przyk艂ad $\delta=\frac{\epsilon}{3}$ |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj