logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Inne, zadanie nr 165

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

poziomka
postów: 1
2011-10-17 11:00:37

Korzystając z definicji, uzasadnić podane równości:
a) lim (7-2x) = 3
x -> 2

b) lim sin x = 0
x -> 0

c) lim \sqrt{x+1} = 2
x -> 3

d) lim \frac{x^{4} - 1}{x^{2} - 1}
x -> 1

Mógłby ktoś wytłumaczyć, jak to wszystko robić? Jak przedstawić to definicją? Z góry będę bardzo wdzięczna:)


tumor
postów: 8070
2012-09-21 13:18:28

A z definicji Cauchy'ego czy Heinego? :)

Definicja Cauchy'ego mówi, że $y_0$ jest granicą funkcji w $x_0$, jeśli dla dowolnej kuli otwartej $K(y_0,\epsilon)$ istnieje kula otwarta $K(x_0,\delta)$ taka, że dla $x\in K(x_0,\delta)\backslash \{x_0\}$ mamy$f(x) \in K(y_0,\epsilon)$.

Albo może prościej: jak małego $\epsilon$ nie wybierzemy, to znajdziemy $\delta$, że jeśli $0<|x-x_0|<\delta$ to $|f(x)-y_0|<\epsilon$

a)
Ustalmy $\epsilon>0$
Szukamy $\delta$ takiej, aby
$|x-x_0|<\delta \rightarrow |f(x)-y_0|<\epsilon$
$|x-2|<\delta \rightarrow |7-2x-3|<\epsilon$
$|x-2|<\delta \rightarrow |4-2x|<\epsilon$
$|x-2|<\delta \rightarrow 2|x-2|<\epsilon$
$|x-2|<\delta \rightarrow |x-2|<\frac{1}{2}\epsilon$

Zatem $\delta\le\frac{1}{2}\epsilon$
$\epsilon$ wybraliśmy dowolnie, zatem dla każdego znajdziemy $\delta$.

b)Ustalmy $\epsilon>0$
Szukamy $\delta$ takiej, aby
$|x-x_0|<\delta \rightarrow |f(x)-y_0|<\epsilon$
$|x|<\delta \rightarrow |\sin x|<\epsilon$

Wypada w tym miejscu wiedzieć, że $|\sin x|\le |x|$ (co uzasadnia się geometrycznie. Narysujmy okrąg o promieniu $1$ i środku $(0,0)$ w układzie współrzędnych. Jeśli $\alpha$ jest kątem w mierze łukowej, to zarazem jest długością łuku na okręgu wyznaczonego przez kąt $\alpha$. Natomiast $\sin\alpha$ to tylko odcięta punktu przecięcia ramienia kąta i okręgu).

Zatem $\delta\le\epsilon$

c)
Ustalmy $\epsilon>0$
Szukamy $\delta$ takiej, aby
$|x-x_0|<\delta \rightarrow |f(x)-y_0|<\epsilon$
$|x-3|<\delta \rightarrow |\sqrt{x+1}-2|<\epsilon$
$-\delta<x-3<\delta \rightarrow -\epsilon<\sqrt{x+1}-2<\epsilon$
$-\delta<x-3<\delta \rightarrow 2-\epsilon<\sqrt{x+1}<2+\epsilon$

Dla małych $\epsilon$ (a o takie nam chodzi) nierówność po prawej odpowiada nierówności
$4-2\epsilon + \epsilon^2<x+1<4+2\epsilon + \epsilon^2$
$-2\epsilon + \epsilon^2<x-3<2\epsilon + \epsilon^2$
Czy umiemy znaleźć $\delta$, alby
$-\delta<x-3<\delta \rightarrow -2\epsilon + \epsilon^2<x-3<2\epsilon + \epsilon^2$ ?
Wystarczy, byśmy mieli
$-2\epsilon + \epsilon^2<-\delta <x-3<\delta<2\epsilon + \epsilon^2$
A takie warunki spełnia na przykład $\delta=\epsilon^2$

(Na $\epsilon$ i $\delta$ można patrzeć jak na liczby bardzo, bardzo małe. Nie interesuje nas, co się dzieje, gdy są spore. Zupełnie wystarcza poprawne zachowanie, gdy są małe.)

d) $\lim_{x \to 1} \frac{x^{4} - 1}{x^{2} - 1}=2$

Zauważmy, że dla $x\neq\pm 1$ mamy
$\frac{x^{4} - 1}{x^{2} - 1}=(x^2+1)$

Wystarczy pokazać, że $\lim_{x \to 1}(x^2+1)=2$
Ustalmy $\epsilon>0$
Szukamy $\delta$ takiej, aby
$|x-x_0|<\delta \rightarrow |f(x)-y_0|<\epsilon$

$|x-1|<\delta \rightarrow |x^2+1-2|<\epsilon$
$1-\delta<x<1+\delta \rightarrow 1-\epsilon<x^2<1+\epsilon$

Wystarczy nam, jeśli $(1+\delta)^2<1+\epsilon$
oraz $1-\epsilon<(1+\delta)^2$
czyli
$1+2\delta+\delta^2<1+\epsilon$
$2\delta+\delta^2<\epsilon$
oraz
$-\epsilon<-2\delta+\delta^2$

Te warunki spełnia na przykład $\delta=\frac{\epsilon}{3}$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 49 drukuj