logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Inne, zadanie nr 168

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

mat12
postów: 221
2011-10-18 19:24:55

Zadanie. Na ile sposobów da się ułożyć z liczb 1, 2, 3, 4 i 5 ciąg o długości 10, tak aby:
a) każda liczba występowała dokładnie dwa razy,
b) dwie takie same liczby nie znajdowały się w ciągu obok siebie.

Jak to rozwiązać? za pomoc z góry dziękuję.


tumor
postów: 8070
2012-09-20 12:52:08

a) To permutacja z powtórzeniami, ale można wziąć na chłopski rozum.
Załóżmy, że mamy elementy $1a,1b,2a,2b,3a,3b,4a,4b,5a,5b$. Można je ułożyć w ciąg na $10!$ sposobów. Ale my nie chcemy odróżniać elementu $1a$ od $1b$ co redukuje ilość układów do połowy, podobnie $2a$ utożsamiamy z $2b$ etc. Ostatecznie mamy

$\frac{10!}{(2!)^5}= \frac{10!}{2^5}$


b) Mamy ciąg o długości $10$. Pierwszy wyraz ciągu możemy wybrać na $5$ sposobów. Drugi na $4$, gdyż odpada taka wartość, jaka była na pozycji pierwszej. I już każdy kolejny na $4$ sposoby, gdyż nie wolno nam użyć liczby, którą użyliśmy poprzednio.
Ostatecznie

$5*4^9$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 20 drukuj