Teoria liczb, zadanie nr 1692
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
agusiaczarna22 post贸w: 106 |  2013-11-11 13:00:33Niech A b臋dzie podzbiorem przestrzeni metrycznej X. Wyka偶, 偶e: $a \in \partial A \Leftrightarrow$ istniej膮 ci膮gi $\left\{ x_{n} \right\} \subset A$ oraz $\left\{ y_{n} \right\} \subset X \setminus A$, takie, 偶e $x_{n} \rightarrow a,$ oraz $y_{n} \rightarrow a.$ |
tumor post贸w: 8070 | 2013-11-11 13:16:59 Ja nie wiem, jak definiowali艣cie brzeg, dlatego przyjmuj臋 $bd(A)=cl A \backslash int A$. gdzie mamy kolejno brzeg, domkni臋cie i wn臋trze zbioru $A$. Powinno si臋 pojawi膰 twierdzonko, 偶e $a\in cl A$, wtw istnieje ci膮g $x_n\subset A$ o granicy r贸wnej $a$. (Dowodzi si臋 to malej膮cymi kulami o 艣rodku w $a$, gdyby kt贸ra艣 nie zawiera艂a prawie wszystkich wyraz贸w ci膮gu, to zawiera艂aby ich sko艅czenie wiele, czyli da艂oby si臋 zmniejszy膰 promie艅 do $r>0$ tak, 偶e kula zawiera艂aby jedynie $a$, w贸wczas $a$ da艂oby si臋 oddzieli膰 zbiorem otwartym od zbioru $A$, czyli $a$ nie nale偶a艂by do domkni臋cia zbioru $A$). Natomiast brzeg to $bd(A)=cl A \backslash int A=cl A \cap (X \backslash int A)=cl A \cap cl (X \backslash A)$. Skoro $a$ nale偶y do $bd A$, to na podstawie przypomnianego twierdzonka jest granic膮 pewnego ci膮gu element贸w z $A$, jak r贸wnie偶 pewnego ci膮gu element贸w z $X \backslash A$ ---- Je艣li twierdzonko si臋 nie pojawi艂o lub potrzebujesz bardziej szczeg贸艂owego jego dowodu (ale pomy艣l dobrze, czy potrzebujesz) to wo艂aj. |
agusiaczarna22 post贸w: 106 | 2013-11-11 14:31:33 To twierdzenie jednak si臋 nie pojawi艂o, czy da si臋 to zadanie zrobi膰 inaczej? |
tumor post贸w: 8070 | 2013-11-11 15:30:23 A tam, marudzisz. :) We藕my $a\in cl A$. Je艣li istnieje kula o dodatnim promieniu $K(a,r)$ maj膮ca pusty przekr贸j z $A$, to $a\in K(a,r)\subset int ( X\backslash A)=X \backslash clA$ (ale sprzeczno艣膰, bo $a\in clA$). Zatem wszystkie kule o 艣rodku $a$ maj膮 niepusty przekr贸j z $A$. We藕my wi臋c ci膮g kul $K(a,\frac{1}{n})$ dla $n\in N$, da si臋 wybra膰 ci膮g $x_n\in A\cap K(a,\frac{1}{n})$, a wobec malej膮cego promienia ci膮g ten spe艂nia definicj臋 ci膮gu zbie偶nego do $a$. W drug膮 stron臋. Mamy ci膮g $x_n\subset A$ zbie偶ny do $a$. To znaczy, 偶e dla dowolnego $\epsilon$ mamy $n_0$, 偶e dla $n>n_0$ zachodzi $x_n\in K(a,\epsilon)$. To oznacza, 偶e dla ka偶dej kuli o 艣rodku w $a$ i promieniu $\epsilon>0$ nale偶膮 do niej prawie wszystkie wyrazy ci膮gu $x_n$. Czyli ka偶da taka kula ma niepusty przekr贸j z $A$. Czyli $a\notin int (X\backslash A)$. Czyli $a\in X\backslash int (X\backslash A)=cl A$. Dowiedli艣my w艂a艣nie, 偶e $a\in clA \iff$ istnieje $x_n\subset A$ taki, 偶e $x_n \rightarrow a$. NIE POLECAM zapomina膰 tej w艂asno艣ci, bo jest u偶yteczna w wielu dowodach i zadaniach. W szczeg贸lno艣ci wy偶ej, skoro $a\in bd A=clA\cap cl(X\backslash A)$ dostajemy dzi臋ki tej w艂asno艣ci OD RAZU istnienie ci膮g贸w $x_n$ i $y_n$ o kt贸re pytano w zadaniu (i w drug膮 stron臋). |
agusiaczarna22 post贸w: 106 | 2013-11-11 15:52:57 Dzi臋kuj臋 :) |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj