Analiza matematyczna, zadanie nr 1714
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
wowo098 post贸w: 1 |  2013-11-16 12:38:07Prosz臋 o pomoc w rozwi膮zaniu kilku zada艅. 1) $ \lim_{n \to \infty } \left( \frac{n ^{2} }{n+1}\right) ^{n+3}$ 2) $\lim_{n \to \infty } \left( n+1+n \cdot \cos \left( n\right) \right) ^{\frac{1}{2 n+n \cdot \sin \left( n\right) }}$ 3) $ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{4 ^{n} -3 ^{n} }$ 4) $ \lim_{n \to \infty } \frac{1}{ \sqrt{n} } \left( \frac{1}{ \sqrt{1} + \sqrt{3} } + \frac{1}{ \sqrt{3} + \sqrt{5} }+...+ \frac{1}{ \sqrt{2 n-1}+ \sqrt{2 n+1} } \right)$ 5) $ \lim_{n \to \infty } \left( 1- \frac{1}{4} \right) \cdot \left( 1- \frac{1}{9}\right) \cdot ... \cdot \left( 1- \frac{1}{n ^{2} } \right)$ W 3) wiem, 偶e nale偶y wykorzysta膰 twierdzenie o 3 ci膮gach. Na ca艂膮 reszt臋 zada艅 nie mam zupe艂nie pomys艂u. |
abcdefgh post贸w: 1255 | 2013-11-16 17:02:51 1)$ lim_{n\rightarrow \infty}(\frac{n^2}{n+1})^{n+3}$ Korzystamy z $ lim_{n\rightarrow \infty}(1+\frac{1}{n})^n=e$ $lim_{n\rightarrow \infty}(1-1+\frac{n^2}{n+1})^{n+3}=lim_{n\rightarrow \infty} (1+\frac{-n-1}{n+1}+(\frac{n^2}{n+1})^{n+3}=lim_{n\rightarrow \infty}(1+\frac{n^2-n-1}{n+1})^{n+3}=$ $lim_{n\rightarrow \infty}(1+\frac{1}{\frac{n+1}{n^2-n-1}})^{n+3}=lim_{n\rightarrow \infty}(1+\frac{1}{\frac{n+1}{n^2-n-1}})^{(n+3)*\frac{n+1}{n+3}} $ $lim_{n\rightarrow \infty} e^{(\frac{n+1}{n^2-n-1})*\frac{n+3}{\frac{n+1}{n^2-n-1}}}$ $lim_{n\rightarrow \infty}(\frac{n+3}{\frac{n+1}{n^2-n-1}})=lim_{n\rightarrow \infty} [(n+3)*\frac{n^2-n-1}{n+1}]=lim_{n\rightarrow \infty} (\frac{(n^2-n-1)(n+3)}{n+1})$  z rysunku wida膰 偶e d膮偶y do $\infty$ $lim_{n\rightarrow \infty} (\frac{(n^2-n-1)(n+3)}{n+1})=\infty$ Zatem $lim_{n\rightarrow \infty} e^{\infty}=\infty$ |
abcdefgh post贸w: 1255 | 2013-11-16 17:14:02 3 ) $\lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{4 ^{n} -3 ^{n} }$ $\sqrt[n]{4 ^{n} -3} \ge \sqrt[n]{4 ^{n} -3 ^{n}} \le \sqrt[n]{4 ^{n} }$ $\sqrt[n]{4 ^{n} -3} \mapsto 4$ $ \sqrt[n]{4 ^{n} } \mapsto 4$ wi臋c $\sqrt[n]{4 ^{n} -3 ^{n}} \mapsto 4$ |
abcdefgh post贸w: 1255 | 2013-11-16 17:56:40 2) $\lim_{n \to \infty } \left( n+1+n \cdot \cos \left( n\right) \right) ^{\frac{1}{2 n+n \cdot \sin \left( n\right) }}$ $\lim_{n \to \infty } (\frac{1}{2n+n*sin(n)})=0$ $lim_{n \rightarrow \infty}$  $lim_{n \rightarrow \infty}(n+1+n*cos(n))^{0}=1$ |
tumor post贸w: 8070 | 2013-11-19 10:01:15 1. Pro艣ciej!!!!! $\lim_{x \to \infty}\left( \frac{n^2}{n+1} \right)^{n+3}$ Je艣li w przyk艂adzie nie ma liter贸wki (np czy nie powinno by膰 $n^2$ w mianowniku?) to rozwi膮zanie ogranicza si臋 do zauwa偶enia, 偶e dla $n\ge 3$ mamy $2<\frac{n^2}{n+1}$ (co si臋 dowodzi dla dzieci. $n^2\ge 3n \ge 2n+n \ge 2n+3 > 2 (n+1)$ ) A skoro mamy oczywist膮 granic臋 $\lim_{x \to \infty}2^{n+3}=\infty$, to tym bardziej ka偶dy ci膮g o odpowiednich wyrazach wi臋kszych ma t臋 sam膮 granic臋 w $\infty$. |
tumor post贸w: 8070 | 2013-11-19 10:10:54 2. $1 \le 1 +n +ncos(n) \le 2n+1 \le 3n$ $\frac{1}{3n} \le \frac{1}{2n+sin(n)} \le \frac{1}{n}$ Z tw. o trzech ci膮gach $1 \le (1 +n +ncos(n))^\frac{1}{2n+sin(n)} \le (3n)^\frac{1}{n}$ Granica wyra偶enia prawego przy $n\to \infty$ jest r贸wna $1$. |
tumor post贸w: 8070 | 2013-11-19 10:16:47 3. Zastosowanie tw. o trzech ci膮gach wymaga nier贸wno艣ci w obie strony, a nie $\ge a_n \le$ Poprawnie to na przyk艂ad: $\sqrt[n]{4^n-\frac{3}{4}4^n} \le \sqrt[n]{4^n-3^n}\le \sqrt[n]{4^n}$ $\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{4^n}=4$ $\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{4^n-\frac{3}{4}4^n}= \lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{\frac{1}{4}4^n}= \lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{\frac{1}{4}}*\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{4^n}=1*4=4$ |
tumor post贸w: 8070 | 2013-11-19 18:42:10 4) Przekszta艂camy sobie nieco wyra偶enia, zauwa偶amy, 偶e to, co liczymy, jest r贸wne $\frac{1}{\sqrt{n}}(\frac{\sqrt{3}-\sqrt{1}}{(\sqrt{3}+\sqrt{1})(\sqrt{3}-\sqrt{1})}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}+...\frac{\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1}}{(\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n-1})(\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1})})$ Tu w nawiasie mianowniki s膮 wszystkie r贸wne 2, wi臋c mo偶na wy艂膮czy膰 je przed nawias, a wtedy w nawiasie si臋 poredukuje prawie wszystko, dostajemy $\frac{1}{2\sqrt{n}}(\sqrt{2n+1}-\sqrt{1})$ o oczywistej granicy $\frac{\sqrt{2}}{2}$ |
tumor post贸w: 8070 | 2013-11-19 18:48:34 5) Tu te偶 zapisujemy rzecz tak, by by艂o lepiej wida膰. Mamy $(\frac{1*3}{2^2})(\frac{2*4}{3^2})(\frac{3*5}{4^2})(\frac{4*6}{5^2})...(\frac{(n-2)(n)}{(n-1)^2})(\frac{(n-1)(n+1)}{n^2})$ co po skr贸ceniu wszystkiego, co si臋 tu da skr贸ci膰, da $\frac{1}{2}*1*1*1*...*1*\frac{n+1}{n}=\frac{n+1}{2n}$ o oczywistej granicy $\frac{1}{2}$ |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj