Algebra, zadanie nr 1728
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
sysuniaa4 post贸w: 1 |  2013-11-20 12:26:58Udowodni膰 , 偶e je艣li h1,h2 jest dzielnikiem normalnym grupy G to h1 iloczyn h2 jest dzielnikiem normalnym grupy G. Czy prawdziwa jest implikacja odwrotna? Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2013-11-20 12:42:58 przez sysuniaa4 |
tumor post贸w: 8070 | 2014-08-08 15:22:16 Warto jeszcze doda膰, kt贸rym z r贸wnowa偶nych warunk贸w definiowali艣my dzielnik normalny grupy. Cz臋sto dzielnik normalny $H$ grupy $G$ definiuje si臋 warunkiem: $\forall_{a\in G} aHa^{-1}=H$ Je艣li $x\in H_1\cap H_2$, gdy $H_1,H_2$ s膮 dzielnikami normalnymi grupy $G$, to oczywi艣cie $\forall_{a\in G}axa^{-1} \in H_1\cap H_2$ na pewno zatem $\forall_{a\in G}a(H_1\cap H_2)a^{-1}\subset H_1\cap H_2$. Pozostaje pokaza膰 zawieranie w drug膮 stron臋. Przypu艣膰my, 偶e istnieje $a\in G$ i $x$ takie, 偶e $x\in (H_1\cap H_2)\backslash a(H_1\cap H_2)a^{-1}$ czyli $axa^{-1}\notin H_1\cap H_2$, przypu艣膰my, 偶e $axa^{-1}\notin H_1$, w贸wczas $H_1$ nie jest dzielnikiem normalnym. Analogicznie $H_2$. --- Implikacja odwrotna prawdziwa nie jest, a dow贸d jest trywialnie trywialny. Wystarczy grupa, w kt贸rej dwie dowolne podgrupy (z kt贸rych co najmniej jedna nie jest normalna) maj膮 cz臋艣膰 wsp贸ln膮 $\{e\}$. Podgrupa trywialna jest normalna. Cz臋艣膰 wsp贸lna nie musi by膰 trywialna, by si臋 da艂o skonstruowa膰 kontrprzyk艂ad. We藕my grupy $G_1, G_2, G_3$, w kt贸rych $H_1$ jest podgrup膮 (ale nie normaln膮) $G_1, H_2$ jest podgrup膮 (nieistotne jak膮) $G_2$, a $G_3$ jest jakakolwiek. W贸wczas $H_1\times \{e_2\}\times G_3$ oraz $\{e_1\}\times H_2\times G_3$ s膮 podgrupami $G_1\times G_2\times G_3$, ich cz臋艣膰 wsp贸lna to podgrupa normalna. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj