Topologia, zadanie nr 1729
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
dzoannam89 post贸w: 34 |  2013-11-20 22:34:21Mam za zadanie poda膰 trzy r贸偶ne przyk艂ady funkcji nieci膮g艂ych i je wszystkie uzasadni膰. |
tumor post贸w: 8070 | 2013-11-20 23:34:44 Gdzie nieci膮g艂ych? Wsz臋dzie? W jednym punkcie? Jak definiowali艣cie ci膮g艂o艣膰? |
dzoannam89 post贸w: 34 | 2013-11-20 23:47:15 f ci膮g艂a w punkcie a $\iff \forall otoczenia U f(a) \exists V otoczenia takie, 偶e f(V)=U$ tak膮 mieli艣my definicje i oboj臋tnie jakie funkcje nieci膮g艂e. |
tumor post贸w: 8070 | 2013-11-21 00:33:44 We藕my funkcj臋 Dirichleta albo jak膮 podobn膮 i $R$ z topologi膮 naturaln膮. $f(x)=\left\{\begin{matrix} 1 \mbox{ dla }x\in Q \\ 0 \mbox{ dla }x\notin Q \end{matrix}\right.$ Je艣li $a$ jest liczb膮 wymiern膮, to $f(a)=1$. We藕my za otoczenie $U$ punktu $f(x)$ kul臋 o promieniu $\frac{1}{2}$, czyli przedzia艂 $(\frac{1}{2},\frac{3}{2}).$ Jednocze艣nie jednak ka偶de otoczenie $V$ punktu $a$ zawiera liczby niewymierne, funkcja przyporz膮dkowuje im $0\notin U$, zatem nie istnieje otoczenie $V$ takie, by $f(V)\subset U$. ---- Co innego. Najbanalniej by艂oby t臋 funkcj臋 powy偶ej przemno偶y膰 przez $sinx$ albo $ln(|x|+1)$ albo $arctgx$ albo $x$, za ka偶dym razem dostajemy funkcje prawie wsz臋dzie nieci膮g艂e, argumentacja przebiega identycznie. Ale 偶eby by艂o ciekawiej, to mo偶e skomplikujemy. We藕my sobie funkcj臋 $g(x)=\left\{\begin{matrix} 0 \mbox{ dla }x=0\\ \frac{1}{x} \mbox{ dla }x\neq 0 \end{matrix}\right.$, w do艣膰 oczywisty spos贸b nieci膮g艂膮 dla $a=0$. We藕my jak wy偶ej za $U$ kul臋 o 艣rodku w $f(a)=0$ i promieniu $\frac{1}{2}$. Jednocze艣nie ka偶de otoczenie V elementu a zawiera element b, dla kt贸rego $f(b)>1, $ czyli $f(b)\notin U$, zatem $f(V)$ nie jest podzbiorem $U$. To 6 przyk艂ad贸w, a nie 2, wi臋c powinno starczy膰. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj