Logika, zadanie nr 1739
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
55555 post贸w: 60 |  2013-11-22 18:39:251) Czy prawdziwe s膮 zdania: a)$\exists_{a\in}R$ $\forall_{x\in}R$ $x^{2}$ - 2$a^{2}$ = ax b) $\forall_{x\in}R$ $\exists_{a\in}R$ $x^{2}$ + ax - 2a > 0 2) Wyznaczy膰 zakres zmienno艣ci w R i zbi贸r spe艂niania nast臋puj膮cych funkcji zdaniowych : a) $\exists_{y\in}R$ x+ y $\le$ 1 b) $\forall_{y\in}R$ x + y $\le$ 1 c) $\exists_{x\in}R$ xy = yx d) $\forall_{x\in}R$ xy = yx e) $\exists_{x\in}R$ sinx = y f) $\forall_{x\in}R$ sinx = y Prosz臋 o wyt艂umaczenie. ........................................................... 3)Zdefiniowa膰: a) alternatyw臋, koniunkcj臋 i r贸wnowa偶no艣膰 za pomoc膮 implikacji i negacji, b) koniunkcj臋, implikacj臋 i r贸wnowa偶no艣膰 za pomoc膮 alternatywy i negacji, c) alternatyw臋, implikacj臋 i r贸wnowa偶no艣膰 za pomoc膮 koniunkcji i negacji Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2013-11-22 21:14:44 przez 55555 |
mimi post贸w: 171 | 2013-11-22 20:10:06 Zad. 1. a.) $x^{2} - 2a^{2} = ax$ Chcemy sprawdzi膰, czy to r贸wnanie ma co najmniej jedno rozwi膮zanie dla ka偶dej liczby rzeczywistej a. $x^{2} - ax - 2a^{2} = 0$ $\Delta = (-a)^{2} - (-8a^{2})$ $\Delta = 9a^{2}$ Dla ka偶dej liczby rzeczywistej a, $a^{2}$ jest nieujemna, liczba nieujemna pomno偶ona przez 9 zawsze b臋dzie nieujemna, wi臋c mamy nieujemn膮 delt臋. R贸wnanie kwadratowe z nieujemn膮 delt膮 zawsze ma jaki艣 rzeczywisty pierwiastek, wi臋c to zdanie jest prawdziwe. |
mimi post贸w: 171 | 2013-11-22 20:20:19 b.) $x^{2} + ax - 2a > 0$ Teraz dla odmiany chcemy sprawdzi膰, czy dla ka偶dego rzeczywistego x istnieje takie a $a(x - 2) > -x^{2}$ dla $x = 2$ $4 + 2a - 2a > 0$ ka偶da liczba rzeczywista a spe艂nia t臋 nier贸wno艣膰 dla $x \neq 2$ $a > \frac{x^{2}}{2 - x}$ We藕my np. liczb臋 $a = \frac{x^{2}}{2 - x} + 1$ Jest ona rzeczywista i z ca艂膮 pewno艣ci膮 istnieje, gdy x jest r贸偶ne od dw贸ch. Dla x r贸wnego dwa odpowiednia liczba r贸wnie偶 istnieje. Wi臋c to zdanie te偶 jest prawdziwe. |
tumor post贸w: 8070 | 2013-11-26 11:32:59 1. SPROSTOWANIE Mamy kwantyfikatory w kolejno艣ci: ISTNIEJE $a$, 偶e DLA KA呕DEGO $x$ ... Nie pytamy zatem, czy dla ka偶dego $a$ r贸wnanie kwadratowe b臋dzie mie膰 rozwi膮zanie rzeczywiste (nieujemna delta), ale czy dla jakiego艣 $a$ r贸wnanie b臋dzie to偶samo艣ciowe. R贸wnanie kwadratowe nie mo偶e by膰 to偶samo艣ciowe (ma 0,1 lub 2 rozwi膮zania), musia艂oby si臋 redukowa膰 do liniowego. Jednak偶e $x^2-2a^2-ax=0$ si臋 do liniowego nie redukuje, przed $x^2$ stoi jedynka. Zdanie jest fa艂szywe. |
tumor post贸w: 8070 | 2013-11-26 11:41:12 1. b) SPROSTOWANIE Doszli艣my poprawnie do nier贸wno艣ci $a(x-2)>-x^2$ Poprawnie rozwa偶yli艣my oddzielnie przypadek $x=2$, dla kt贸rego nier贸wno艣膰 jest spe艂niona. Natomiast dla $x\neq 2$ NIE WIEMY, czy dziel膮c przez (x-2) dzielimy przez liczb臋 dodatni膮 czy przez ujemn膮, zatem NIE WIEMY czy zmieniamy znak nier贸wno艣ci czy nie. Poprawnie b臋dzie podzieli膰 na przypadki. 1) $x>2$ w贸wczas dzielimy przez liczb臋 dodatni膮 i dostajemy $a>\frac{-x^2}{x-2}=\frac{x^2}{2-x}$ i znajdujemy odpowiednie a np z podanego przepisu $a=\frac{x^2}{2-x}+1$ 2) $x<2$ w贸wczas dzielimy przez liczb臋 ujemn膮 i dostajemy $a<\frac{-x^2}{x-2}=\frac{x^2}{2-x}$ i znajdujemy odpowiednie a np tak: $a=\frac{x^2}{2-x}-1$ |
tumor post贸w: 8070 | 2013-11-26 11:54:23 3. u偶ywamy $\Rightarrow$ i $\neg$ jako implikacji i negacji. 1) alternatywa Ma by膰 fa艂szem tylko, gdy oba $p,q$ s膮 fa艂szywe $(p \vee q) \equiv (\neg p \Rightarrow q)$ 2) koniunkcja Korzystamy z prawa de Morgana. Mamy $ \neg (p \wedge q) \equiv \neg p \vee \neg q$ czyli $p \wedge q \equiv \neg (\neg p \vee \neg q)$ natomiast alternatyw臋 mamy ju偶 zdefiniowan膮, czyli wstawiamy wcze艣niejsze po prawej stronie $p \wedge q \equiv \neg (p \Rightarrow \neg q)$ --- No a mo偶na jak wy偶ej na ch艂opski rozum. Koniunkcja prawdziwa gdy mamy dwie prawdy. Z implikacji i negacji naj艂atwiej ulepi膰 zdanie, kt贸re b臋dzie fa艂szywe tylko dla $p,q$ prawdziwych, to zdanie to $p\Rightarrow \neg q$, zaprzeczenie tego zdania b臋dzie r贸wnowa偶ne koniunkcji $p$ i $q$ --- 3) r贸wnowa偶no艣膰. Mamy $(p\equiv q) \equiv (p\Rightarrow q \wedge q \Rightarrow p)$ U偶ywamy tu koniunkcji, kt贸r膮 zdefiniowali艣my w przyk艂adzie wy偶ej. Zatem $(p\equiv q) \equiv (\neg((p \Rightarrow q)\Rightarrow \neg (q\Rightarrow p)))$ Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2013-11-26 11:55:16 przez tumor |
tumor post贸w: 8070 | 2013-11-26 12:00:14 b) u偶ywamy $\vee$ i $\neg $ 1) implikacja $(p \Rightarrow q) \equiv (\neg p \vee q)$ 2) koniunkcja $(p \wedge q) \equiv \neg (\neg p \vee \neg q)$ 3) r贸wnowa偶no艣膰 $(p \equiv q) \equiv (p \Rightarrow q \wedge q \Rightarrow p)$ U偶ywamy funktor贸w zdefiniowanych wy偶ej $(p \equiv q) \equiv (\neg (\neg (\neg p \vee q) \vee \neg (\neg q \vee p)))$ |
tumor post贸w: 8070 | 2013-11-26 12:05:22 c) u偶ywamy $\wedge$ i $\neg$ 1) alternatywa $(p \vee q) \equiv \neg (\neg p \wedge \neg q)$ 2) implikacja $(p\Rightarrow q) \equiv \neg p \vee q$ $(p\Rightarrow q) \equiv \neg (p \wedge \neg q)$ 3) r贸wnowa偶no艣膰 $(p \equiv q) \equiv (p \Rightarrow q \wedge q \Rightarrow p)$ $(p \equiv q) \equiv ((\neg (p \wedge \neg q)) \wedge (\neg (q \wedge \neg p)))$ |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj