Topologia, zadanie nr 1745
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
kasia93 post贸w: 65 |  2013-11-23 19:53:21Udowodni膰 ,偶e metryki: euklidesowa , maksimum oraz taks贸wkowa s膮 r贸wnowa偶ne. |
tumor post贸w: 8070 | 2014-08-11 22:23:27 W jakiej przestrzeni? Robi臋 w $R^n$ $d_e(x,y)=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2}$ $d_m(x,y)=max(|x_i-y_i|:i\in \{1,2,...,n\})$ $d_t(x,y)=\sum_{i=1}^{n}|x_i-y_1|$ Trzeba pokaza膰, 偶e zbi贸r otwarty w jednej z metryk jest otwarty w innej. Rozwa偶a膰 w tym celu b臋d臋 kule, bo ka偶dy zbi贸r otwarty jest sum膮 kul otwartych, przy tym rozwa偶a膰 b臋d臋 tylko 艣rodki kul, bo ka偶dy punkt w kuli $K_1$ jest 艣rodkiem kuli $K_2$ zawartej w $K_1$. No i jeszcze ogranicz臋 si臋 do kul odpowiednio ma艂ych, to znaczy o promieniach mniejszych ni偶 $1$, wi臋ksze kule s膮 sumami mniejszych kul. We藕my zatem $K_e(x,r)=\{y: d_e(x,y)<r\}$ je艣li $y\in K_e(x,r)$, to $\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2}<r$ $\sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2<r^2$ $max((x_i-y_i)^2:i\in \{1,2,...,n\})<r^2$ $max(|x_i-y_i|:i\in \{1,2,...,n\})<r$ Czyli $K_e(x,r)\subset K_m(x,r)$ We藕my $K_m(x,r)=\{y: d_m(x,y)<r\}$ je艣li $y\in K_m(x,r)$, to $max(|x_i-y_i|:i\in \{1,2,...,n\})<r$ $\sum_{i=1}^{n}|x_i-y_i|<nr$ Czyli $K_m(x,r)\subset K_t(x,nr)$, lub r贸wnowa偶nie $K_m(x,\frac{r}{n})\subset K_t(x,r)$ We藕my $K_t(x,r)=\{y: d_t(x,y)<r\}$ je艣li $y\in K_t(x,r)$, to $\sum_{i=1}^{n}|x_i-y_i|<r$, wobec wcze艣niejszej uwagi, 偶e $r<1$, mamy $|x_i-y_i|^2<|x_i-y_i|$, czyli $\sum_{i=1}^{n}|x_i-y_i|^2<\sum_{i=1}^{n}|x_i-y_i|<r$, czyli $\sqrt{\sum_{i=1}^{n}|x_i-y_i|^2}<\sqrt{r}$ czyli $K_t(x,r)\subset K_e(x,\sqrt{r})$, lub r贸wnowa偶nie $K_t(x,r^2)\subset K_e(x,r)$ |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj