Topologia, zadanie nr 1746
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
kasia93 post贸w: 65 |  2013-11-24 11:20:26Wyznaczy膰 domkni臋cie ,brzeg , wn臋trze , pochodna oraz 艣rednic臋 ,gdy: a)A zawiera si臋 w R(R,de) oraz A={1+1/n:n nale偶y do N} b)A zawiera si臋 w R(R,de) oraz A={n+1/k:n,k nale偶膮 do N} c)A zawiera si臋 w R^2(R^2,de) oraz A={((-1)^n,1/n):n nale偶y do N} d)A zawiera si臋 w R^2(R^2,de) oraz A={(x,y)nale偶膮ce do R^2,y=sinx i x jest dodatnie} (de=metryka euklidesowa) |
tumor post贸w: 8070 | 2014-08-12 12:00:48 b臋d臋 oznacza艂 przez $clA$ - domkni臋cie $A$ $intA$ - wn臋trze $A$ $FrA$ - brzeg $A$ $dA$ - pochodna $A$ $diamA$ - 艣rednica $A$ a) $dA=\{1\}$ bowiem punkty postaci $1+\frac{1}{n}$ maj膮 s膮siedztwa roz艂膮czne z $A$, punkty mniejsze od $1$ lub wi臋ksze od $2$ lub nale偶膮ce do $(1+\frac{1}{n+1},1+\frac{1}{n})$ maj膮 otoczenia roz艂膮czne z $A$, natomiast ka偶de otoczenie punktu $1$ ma niepusty przekr贸j z $A$. Mamy $clA=A\cup dA$ $A$ jest przeliczalny, st膮d $intA=\emptyset$ Zatem $FrA=clA$ $diamA=1$, bowiem $A\subset [1,2]$ oraz dla $r<1$ istnieje $x\in A$, 偶e $d(x,2)>r$ (gdy偶 istnieje $n$, 偶e $\frac{1}{n}<1-r$) |
tumor post贸w: 8070 | 2014-08-12 12:01:04 b) $A=\{n+\frac{1}{k}: n,k\in N\}$ $A=\bigcup A_n$, gdzie $A_n=\{n+\frac{1}{k}: k\in N\}$ oczywi艣cie $dA_n=\{n\}$ Rozumuj膮c analogicznie od a) otrzymujemy $dA=N$ $clA=A\cup N$ $intA=\emptyset$ $FrA=clA$ $diamA=\infty$ (dla ustalonego $k$ i dowolnego $m$ naturalnego mamy $d(n+\frac{1}{k},n+m+1+\frac{1}{k})>m$ ) |
tumor post贸w: 8070 | 2014-08-12 12:01:22 c) $A=\{((-1)^n,\frac{1}{n}): n\in N\}$ mamy $(1;0)\in dA$ oraz $(-1,0)\in dA$, rozumuj膮c jak wcze艣niej pokazujemy, 偶e wi臋cej punkt贸w w $dA$ nie ma $clA=A\cup dA$ $intA=\emptyset$ $FrA=clA$ $diamA=\sqrt{5}$ bowiem $x=(-1,1)\in clA$, $y=(1,0)\in clA$, $d(x,y)=\sqrt{5}$, natomiast $A\subset \overline{K}((0;\frac{1}{2}),\frac{\sqrt{5}}{2})$ (to ostatnie lepiej dok艂adnie pokaza膰, ale to 艂atwe). |
tumor post贸w: 8070 | 2014-08-12 12:01:44 d) $A=\{(x,y)\in R^2, y=sinx i x>0\}$ $A$ jest podzbiorem wykresu funkcji $y=sinx$, zatem $intA=\emptyset$ $A\subset dA$, ponadto $(0,0)\in dA$ je艣li $x<0$ lub $y\neq sinx$, to $(x,y)\notin dA$, 艂atwo pokaza膰 istnienie otoczenia takiego punktu roz艂膮cznego z $A$ (powa偶nie, 艂atwo). $clA=A\cup dA$ $FrA=clA$ $diamA=\infty$ (bo dla dowolnego $m$ naturalnego $d((\pi,0),((m+1)\pi,0))=m\pi>m$ |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj