Topologia, zadanie nr 1746

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
kasia93 postów: 65	2013-11-24 11:20:26 Wyznaczyć domknięcie ,brzeg , wnętrze , pochodna oraz średnicę ,gdy: a)A zawiera się w R(R,de) oraz A={1+1/n:n należy do N} b)A zawiera się w R(R,de) oraz A={n+1/k:n,k należą do N} c)A zawiera się w R^2(R^2,de) oraz A={((-1)^n,1/n):n należy do N} d)A zawiera się w R^2(R^2,de) oraz A={(x,y)należące do R^2,y=sinx i x jest dodatnie} (de=metryka euklidesowa)

tumor postów: 8070	2014-08-12 12:00:48 będę oznaczał przez $clA$ - domknięcie $A$ $intA$ - wnętrze $A$ $FrA$ - brzeg $A$ $dA$ - pochodna $A$ $diamA$ - średnica $A$ a) $dA=\{1\}$ bowiem punkty postaci $1+\frac{1}{n}$ mają sąsiedztwa rozłączne z $A$, punkty mniejsze od $1$ lub większe od $2$ lub należące do $(1+\frac{1}{n+1},1+\frac{1}{n})$ mają otoczenia rozłączne z $A$, natomiast każde otoczenie punktu $1$ ma niepusty przekrój z $A$. Mamy $clA=A\cup dA$ $A$ jest przeliczalny, stąd $intA=\emptyset$ Zatem $FrA=clA$ $diamA=1$, bowiem $A\subset [1,2]$ oraz dla $r<1$ istnieje $x\in A$, że $d(x,2)>r$ (gdyż istnieje $n$, że $\frac{1}{n}<1-r$)

tumor postów: 8070	2014-08-12 12:01:04 b) $A=\{n+\frac{1}{k}: n,k\in N\}$ $A=\bigcup A_n$, gdzie $A_n=\{n+\frac{1}{k}: k\in N\}$ oczywiście $dA_n=\{n\}$ Rozumując analogicznie od a) otrzymujemy $dA=N$ $clA=A\cup N$ $intA=\emptyset$ $FrA=clA$ $diamA=\infty$ (dla ustalonego $k$ i dowolnego $m$ naturalnego mamy $d(n+\frac{1}{k},n+m+1+\frac{1}{k})>m$ )

tumor postów: 8070	2014-08-12 12:01:22 c) $A=\{((-1)^n,\frac{1}{n}): n\in N\}$ mamy $(1;0)\in dA$ oraz $(-1,0)\in dA$, rozumując jak wcześniej pokazujemy, że więcej punktów w $dA$ nie ma $clA=A\cup dA$ $intA=\emptyset$ $FrA=clA$ $diamA=\sqrt{5}$ bowiem $x=(-1,1)\in clA$, $y=(1,0)\in clA$, $d(x,y)=\sqrt{5}$, natomiast $A\subset \overline{K}((0;\frac{1}{2}),\frac{\sqrt{5}}{2})$ (to ostatnie lepiej dokładnie pokazać, ale to łatwe).

tumor postów: 8070	2014-08-12 12:01:44 d) $A=\{(x,y)\in R^2, y=sinx i x>0\}$ $A$ jest podzbiorem wykresu funkcji $y=sinx$, zatem $intA=\emptyset$ $A\subset dA$, ponadto $(0,0)\in dA$ jeśli $x<0$ lub $y\neq sinx$, to $(x,y)\notin dA$, łatwo pokazać istnienie otoczenia takiego punktu rozłącznego z $A$ (poważnie, łatwo). $clA=A\cup dA$ $FrA=clA$ $diamA=\infty$ (bo dla dowolnego $m$ naturalnego $d((\pi,0),((m+1)\pi,0))=m\pi>m$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj