Analiza matematyczna, zadanie nr 1750
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
filip1994 post贸w: 2 |  2013-11-25 23:35:12Mam problem z kilkoma przyk艂adami z pochodnych, prosz臋 o pomoc i dosy膰 obszerne wyja艣nienie. f(x)=x^2sinx+2xcosx-2sinx f(x)=(x^2+2x+2)^e^(-x) f(t)=(t^2+1)*logt f(t)=5t^(2)e^(t)ln(t) f(x)=lnx/(x^(5))+1/(5x^(5)) |
tumor post贸w: 8070 | 2013-11-26 08:45:07 $ (sinx)`=cosx$ $(cosx)`=-sinx$ $x`=1$ $(x^n)`=nx^{n-1}$ $(lnx)`=\frac{1}{x}$ $(logx)=\frac{1}{xln10}$ $(e^x)`=e^x$ a) ponadto korzystamy ze wzoru na pochodn膮 iloczynu (natomiast pochodna sumy/r贸偶nicy to po prostu suma/r贸偶nica pochodnych) $(fg)`=f`g+fg`$ Zatem $(x^2sinx)`=(x^2)`sinx+x^2(sinx)`=2xsinx+x^2cosx$ $(2xcosx)`=(2x)`cosx+2x(cosx)`=2cosx-2xsinx$ $(-2sinx)`=-2cosx$ Dodajemy wszystko $2xsinx+x^2cosx+2cosx-2xsinx-2cosx=x^2cosx$ Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2013-11-26 09:12:18 przez tumor |
tumor post贸w: 8070 | 2013-11-26 08:57:06 b) $f(x)=(x^2+2x+2)^{e^{-x}}=e^{e^{-x}ln(x^2+2x+2)}$ Tu skorzystamy tak偶e ze wzoru na pochodn膮 z艂o偶enia $(f(g))`=f`(g)*g`$ Zatem $(e^{e^{-x}ln(x^2+2x+2)})`=e^{e^{-x}ln(x^2+2x+2)}*(e^{-x}ln(x^2+2x+2))`$ zn贸w pochodna iloczynu $e^{e^{-x}ln(x^2+2x+2)}*(e^{-x}ln(x^2+2x+2))`=e^{e^{-x}ln(x^2+2x+2)}*[(e^{-x})`ln(x^2+2x+2)+e^{-x}(ln(x^2+2x+2))`]$ i w nawiasach pochodne z艂o偶e艅 $e^{e^{-x}ln(x^2+2x+2)}*[(e^{-x})`ln(x^2+2x+2)+e^{-x}(ln(x^2+2x+2))`]=e^{e^{-x}ln(x^2+2x+2)}*[(-e^{-x})ln(x^2+2x+2)+e^{-x}(\frac{1}{x^2+2x+2}*(2x+2))]$ |
tumor post贸w: 8070 | 2013-11-26 09:03:11 c) $f(t)=(t^2+1)*logt$ To pochodna iloczynu $((t^2+1)*logt)`=(t^2+1)`*logt+(t^2+1)*(logt)`= 2tlogt+(t^2+1)\frac{1}{tln10}$ Podejrzewam, 偶e problem z robieniem pochodnych polega na tym, 偶e si臋 we wz贸r gapisz, zamiast go czyta膰. Na ksi膮偶k臋 te偶 mo偶na si臋 gapi膰, nie czytaj膮c. Nawet wielu to robi. Gdy dostajesz funkcj臋, patrzysz, jak j膮 zrobiono. Czy jest ulepiona przez mno偶enie, dzielenie, dodawanie, odejmowanie czy sk艂adanie innych (PROSTSZYCH!) funkcji. Musisz odkry膰 te mno偶enia/z艂o偶enia/etc, a potem tylko zastosowa膰 odpowiedni wz贸r, rozbijaj膮c pochodn膮 du偶ej funkcji na pochodne funkcji prostszych. I tak robisz a偶 dostaniesz funkcje elementarne, kt贸rych pochodne na wyk艂adzie liczy si臋 z definicji. ;) |
tumor post贸w: 8070 | 2013-11-26 09:09:43 d) $f(t)=5t^2e^tln(t)$ (Czy przyk艂ad na pewno tak wygl膮da? Nie by艂 napisany jednoznacznie.) Tu popatrz, na dobr膮 spraw臋 masz iloczyn czterech funkcji: $5,t^2,e^t,lnt$ Ale potraktujemy to chwilowo jak iloczyn dw贸ch funkcji $(t^2e^t)*(5lnt)$ Pochodna b臋dzie liczona $((t^2e^t)*(5lnt))`=(t^2e^t)`*(5lnt)+(t^2e^t)*(5lnt)`$ $ (t^2e^t)`=(t^2)`(e^t)+(t^2)(e^t)`=2te^t+t^2e^t$ $(5lnt)`=5`lnt+5(lnt)`=0+\frac{5}{t}$ Ostatecznie mamy $((t^2e^t)*(5lnt))`=(2te^t+t^2e^t)*(5lnt)+(t^2e^t)*(\frac{5}{t})$ |
tumor post贸w: 8070 | 2013-11-26 09:20:15 e) $ f(x)=lnx/(x^5)+1/(5x^5)=lnx*x^{-5}+\frac{1}{5}x^{-5} $ Mamy tu zn贸w iloczyny. Dostaniemy $f`(x)=(lnx)`*x^{-5}+lnx*(x^{-5})`+\frac{1}{5}(x^{-5})`= \frac{1}{x}*x^{-5}+lnx*(-5)x^{-6}+\frac{1}{5}*(-5)x^{-6}$ ----- W powy偶szych przyk艂adach nie dokonywa艂em redukcji, skr贸ce艅 i uporz膮dkowa艅 wynik贸w, bo po pierwsze mi si臋 nie chcia艂o, po drugie nie piszesz, 偶e masz z tym problem, po trzecie wyd艂u偶a艂oby to tekst, zatem utrudnia艂oby skupienie si臋 na sednie rozwi膮zania. ----- Rozwi膮zania powy偶sze nie s膮 jedynymi mo偶liwymi. Mo偶na u偶ywa膰 pochodnej ilorazu, mo偶na inaczej przekszta艂ci膰 wy艂膮czaj膮c co艣 przed nawias (na przyk艂ad w ostatnim, gdzie dostaniemy pochodn膮 iloczynu $(x^{-5}(lnx+\frac{1}{5}))`$ i po zastosowaniu wzoru na pochodn膮 iloczynu ten sam wynik). Ka偶de dobre rozwi膮zanie da ten sam wynik, nawet je艣li p贸jdzie nieco innymi drogami. No i oczywi艣cie liter贸wki gdzie艣 mog艂em zrobi膰, wi臋c przepisuj my艣l膮c, wtedy je wy艂apiesz i mnie poprawisz. |
filip1994 post贸w: 2 | 2013-11-26 13:42:14 Wielkie dzi臋ki, niesamowicie mi pomog艂e艣, widz臋, 偶e mo偶na tu liczy膰 na fachow膮 pomoc :) |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj