Topologia, zadanie nr 1760
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
majewa888 post贸w: 24 |  2013-11-29 19:05:45Mam za zadanie napisa膰 przyk艂ad odwzorowania ci膮g艂ego f oraz zbioru domkni臋tego F takich, 偶e f(F) nie jest zbiorem domkni臋tym.M贸g艂by kto艣 pom贸c? |
tumor post贸w: 8070 | 2013-11-29 19:49:46 Wystarczy topologi臋 dobrze wybra膰. We藕my funkcj臋 $f:(R,\tau_1)\to(R,\tau_2)$, gdzie $\tau_1$ jest topologi膮 dyskretn膮, a $\tau_2$ topologi膮 naturaln膮. W贸wczas ka偶da taka $f$ jest funkcj膮 ci膮g艂膮, poniewa偶 KA呕DY przeciwobraz jest zbiorem otwartym (czyli na pewno przeciwobraz zbioru otwartego jest otwarty). Mo偶emy zatem wybra膰 najpro艣ciej $f(x)=x$ Wystarczy za $F$ wybra膰 taki zbi贸r, 偶e jest domkni臋ty w topologii dyskretnej, a nie jest w naturalnej, cho膰by $(0,1)$ |
majewa888 post贸w: 24 | 2013-11-30 13:14:44 A mog艂abym poprosi膰 o jeszcze jaki艣 przyk艂ad?:) |
tumor post贸w: 8070 | 2013-11-30 22:20:34 A czemu nie kombinujesz sama? h臋? Wszystko ja robi臋. Tu chodzi o POMOC z zadaniami, a nie tylko \"zr贸b mi\". :) Wymy艣li艂 mi si臋 taki zabawny przyk艂ad. Narysuj se okr膮g, pod nim poziom膮 prost膮, a na g贸rze okr臋gu zaznacz punkt $P$ (ten najdalszy prostej). Je艣li teraz wybierzesz punkt $A$ na prostej, to niech $A`$ b臋dzie punktem przeci臋cia $AP$ z okr臋giem. Dla ka偶dego punktu na prostej znajdziemy jego obraz w tym odwzorowaniu. Okr膮g pomy艣lmy z topologi膮 dziedziczon膮 z $R^2$, prost膮 z topologi膮 naturaln膮 $R$ (co r贸wnowa偶ne dziedziczonej z $R^2$). Przekszta艂cenie prostej w okr膮g jest ci膮g艂e (wystarczy, 偶e przeciwobrazem przedzia艂u otwartego, tj. 艂uku bez ko艅c贸w, jest przedzia艂 otwarty). Jednocze艣nie jednak obrazem domkni臋tego zbioru $[0,\infty)$ jest fragment 艂uku domkni臋ty z jednej tylko strony, otwarty z drugiej, gdy偶 koniec - punkt $P$ - nie nale偶y do tego obrazu. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj