Topologia, zadanie nr 1761
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
majewa888 post贸w: 24 |  2013-11-29 20:20:38Czy zbi贸r A jest otwarty? Czy zbi贸r A jest domkni臋ty? Rozwa偶amy topologi臋 R dan膮 przez metryk臋 euklidesow膮(naturaln膮). 1)$A= \left\{ x \in R: sin x> \frac{1}{2} \right\} \subset R$ 2)$A= \left\{ x \in R: x^7-x^2+1 \le O \right\} \subset R$ 3)$A= \left\{x \in R^2:sin_{x1}> \frac{1}{2} \right\} \subset R^2$ 4)$A= \left\{x \in R^2:x^4_{1}+x^4_{2} \le 1\right\}\subset R^2$ 5)$A= \left\{x \in R^2:x_{1}x_{2} \le 1\right\}\subset R^2$ 6)$A= \left\{x \in R^2: [x_1]=[x_2] \right\}\subset R^2$ gdzie $[a]$ oznacza cz臋艣膰 ca艂kowit膮 liczby a. W przypadku odpowiedzi Tak mam poda膰 uzasadnienie. |
tumor post贸w: 8070 | 2013-11-29 20:31:38 1) $sinx$ ci膮g艂y, a $(\frac{1}{2},\infty)$ otwarty, czyli przeciwobraz otwarty (no i nie jest domkni臋ty, bo tylko dwa zbiory w tej topologii s膮 domkni臋to-otwarte, $\emptyset$ i $R$) |
tumor post贸w: 8070 | 2013-11-29 20:39:24 2) funkcja ci膮g艂a, $(-\infty,0]$ domkni臋ty, czyli przeciwobraz domkni臋ty i nie otwarty. ----- Uwaga, jak to robimy i co si臋 dzieje. Albo wyra藕nie wida膰, 偶e u偶ywamy funkcji ci膮g艂ej okre艣lonej na $R$ (jak sinus albo jak wielomian), albo b臋dziemy musieli napisa膰 jak膮艣 funkcj臋 ci膮g艂膮 okre艣lon膮 w $R^n$ o warto艣ciach w $R^k$. Nast臋pnie wymy艣lamy, jakiego zbioru przeciwobrazem jest zbi贸r $A$. Je艣li jest przeciwobrazem domkni臋tego, to jest domkni臋ty na mocy ci膮g艂o艣ci funkcji, je艣li przeciwobrazem otwartego, to otwarty na mocy ci膮g艂o艣ci funkcji. Sprawdzamy jeszcze, czy $A$ stanowi mo偶e zbi贸r pusty albo ca艂膮 przestrze艅, bo wtedy b臋dzie i otwarty i domkni臋ty, je艣li nie stanowi, to otwarto艣膰 wyklucza domkni臋to艣膰, a domkni臋to艣膰 wyklucza otwarto艣膰 ($R^m$ to przestrze艅 sp贸jna) |
tumor post贸w: 8070 | 2013-11-29 20:42:37 3) Tu rozpatrujemy funkcj臋 $f(x_1,x_2)=sinx_1$ Jest ci膮g艂a, jako rzutowanie funkcji ci膮g艂ej $g(x_1,x_2)=(sinx_1,x_2)$ Zn贸w $A$ jest przeciwobrazem otwartego zbioru $(\frac{1}{2},\infty)$ |
tumor post贸w: 8070 | 2013-11-29 20:46:01 4) funkcja $f(x_1,x_2)=x_1^4+x_2^4$ ci膮g艂a jako wielomian, $A$ jest przeciwobrazem $(-\infty,1]$, czyli jest domkni臋ty i nie otwarty 5) dok艂adnie ten sam wniosek dla innego wielomianu |
tumor post贸w: 8070 | 2013-11-29 20:56:43 6) tu zrobimy oddzielnie. Odpowied藕 jest przecz膮ca zar贸wno gdy chodzi o zbi贸r otwarty jak i domkni臋ty, ale cho膰 w zadaniu nie prosz膮 o uzasadnienie, to by艂oby ogromnym wstydem na siedem pokole艅 tak je zostawi膰 We藕my punkty $p=(2,3)$ i q$=(2,2)$ Zauwa偶my, 偶e $q\in A$ i $p\notin A$ Zarazem jednak dla dowolnego $\epsilon>0$ mamy $(2,3-\epsilon)\in A$ $(2,2-\epsilon)\notin A$ Oznacza to, 偶e punkty $p,q$ nale偶膮 do brzegu zbioru $A$. $A$ nie jest otwarty, skoro jakikolwiek punkt z brzegu nale偶y do $A$, nie jest r贸wnie偶 domkni臋ty, skoro jakikolwiek punkt z brzegu nie nale偶y do $A$. --- brzeg definiujemy na przyk艂ad $bdA=clA\backslash int A$, gdzie $clA$ to domkni臋cie $A$, $intA$ to wn臋trze $A$. Gdyby $A$ by艂 domkni臋ty, to $A=clA$, czyli ka偶dy punkt nale偶膮cy do brzegu nale偶a艂by do $clA$ i $A$. Gdyby $A$ by艂 otwarty, to $int A=A$, wtedy 偶aden punkt z brzegu nie nale偶a艂by do $A$. Jak znalaz艂em punkty $p,q$ i dlaczego s膮 na brzegu? Nale偶膮 do domkni臋cia A, gdy偶 w KA呕DYM ich otoczeniu znajduj膮 si臋 punkty z $A$, nie nale偶膮 do wn臋trza A, gdy偶 w ka偶dym ich otoczeniu znajdziemy punkty spoza $A$. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj