Topologia, zadanie nr 1762
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
majewa888 post贸w: 24 |  2013-11-29 21:36:00cd.2 Czy zbi贸r A jest otwarty? Czy zbi贸r A jest domkni臋ty? Rozwa偶amy topologi臋 R dan膮 przez metryk臋 euklidesow膮(naturaln膮). 7)$A=\left\{x \in R^2:| x_1-x_2| \le 3,0<x_1x_2<1 \right\}\subset R^2$ 8)$A= \left\{x \in R^2:x^2_{1}-3x^2_{2}-x_1=3\right\}\subset R^2$ 9)$A= \left\{x \in R^3:x_1+x_2+x_3=1\right\}\subset R^3,$ 10)$A= B \times C \subset R^3$, gdzie $B=\left\{(x,y):x^6+y^6 \le 6,C=[-1,1] \right\}$ 11)A okre艣lony nier贸wno艣ci膮 :$z \ge x^2+y^2+z^2$w $R^3$ |
tumor post贸w: 8070 | 2013-11-29 22:04:50 9) Domkni臋ty. Zn贸w mo偶emy pomy艣le膰, 偶e chodzi o funkcj臋 $f(x_1,x_2,x_3)=x_1+x_2+x_3$ ci膮g艂膮 jako wielomian i rozwa偶a膰 A jako przeciwobraz zbioru $\{1\}$ Mo偶emy tak偶e wprost z definicji zauwa偶y膰, 偶e dla ka偶dego punktu nie nale偶膮cego do $A$ znajdziemy ca艂e otoczenie tego punktu nie nale偶膮ce do $A$, co oznacza, 偶e $X\backslash A$ jest otwarty. 8) Na dok艂adnie tej samej zasadzie co wy偶ej zbi贸r $A$ jest domkni臋ty. (Wielomian jest ci膮g艂y, a przeciwobraz zbioru jednopunktowego przestrzeni metrycznej przez funkcj臋 ci膮g艂膮 jest domkni臋ty). --- Reszta jutro, je艣li kto艣 inny nie zrobi, dzi艣 mi si臋 nie chce. :) |
tumor post贸w: 8070 | 2013-11-30 10:13:59 7) w nawiasie przyda艂by si臋 symbol $\vee$ lub $\wedge$ jasno m贸wi膮cy, jak potraktowa膰 te warunki. Domy艣lnie przecinek czytam jak $\wedge$ $B=\{x\in R^2: |x_1-x_2|\le 3 \}$ Jest zbiorem domkni臋tym jako przeciwobraz domkni臋tego $C=\{x\in R^2: 0<x_2x_2\le 1 \}$ Jest otwarty jako przeciwobraz otwartego. 呕aden ze zbior贸w nie zawiera si臋 w drugim, co pozwala podejrzewa膰, 偶e $A$, jako ich przekr贸j, nie jest ani domkni臋ty, ani otwarty. Obieramy sobie punkty na brzegu $B$ we wn臋trzu $C$ i na brzegu $C$ we wn臋trzu $B$, b臋d膮 to $p=(1,1)$ $q=(\frac{1}{5},3\frac{1}{5})$ $p,q$ s膮 na brzegu $A$ (bo dowolnie blisko tych punkt贸w s膮 punkty z $A$), natomiast jeden z nich nale偶y do $A$ (wi臋c $A$ nie jest otwarty), a drugi nie nale偶y do $A$ (wi臋c $A$ nie jest domkni臋ty) |
tumor post贸w: 8070 | 2013-11-30 10:22:21 10) C jest domkni臋ty (to nazywamy przedzia艂 domkni臋ty, bo jest domkni臋ty w topologii naturalnej) B jest domkni臋ty jako przeciwobraz zbioru domkni臋tego. Wypada umie膰 udowodni膰, 偶e iloczyn kartezja艅ski zbior贸w domkni臋tych jest domkni臋ty, co si臋 pokazuje korzystaj膮c z faktu, 偶e iloczyn kartezja艅ski otwartych jest otwarty. Nie wiem, ile by艂o na wyk艂adzie, je艣li kt贸ry艣 dow贸d mamy tu przeprowadzi膰, to informuj. |
tumor post贸w: 8070 | 2013-11-30 10:23:35 11) zn贸w wielomian ci膮g艂y, $A$ jest przeciwobrazem zbioru domkni臋tego, nie jest zbiorem pustym ani ca艂膮 przestrzeni膮, wi臋c nie jest zarazem otwarty. |
majewa888 post贸w: 24 | 2013-11-30 13:07:29 Co do 10 nie by艂o jeszcze o iloczynie kartezja艅skim zbior贸w i domkni臋tych i otwartych. Ale prosi艂abym bardzo o te dowody, bo zapewne to b臋dzie:) I mia艂abym pro艣b臋 mog艂abym do zadania :11,8,10 i 11 prosi膰 o pomoc w zapisaniu tego za pomoc膮 symboli, bo napewno b臋d臋 musia艂a to przedstawi膰 na tablicy. Dzi臋kuj臋 ju偶 za pomoc:) |
tumor post贸w: 8070 | 2013-11-30 21:44:56 To patrzymy tak. Je艣li $X,Y$ s膮 przestrzeniami topologicznymi, to rozwa偶my w $X\times Y$ rodzin臋 $C=\{A\times B, A\in \tau_X, B\in\tau_Y\}$, czyli wszystkie iloczyny kartezja艅skie zbior贸w otwartych w $X$ i $Y$. Oznaczmy teraz przez $\tau_{X\times Y}$ rodzin臋 wszystkich sum podzbior贸w zbioru $C$. Oczywi艣cie $\emptyset\in \tau_{X\times Y}$, $X\times Y \in \tau_{X\times Y}$, suma dowolnie wielu zbior贸w z $\tau_{X\times Y}$ nale偶y do $\tau_{X\times Y}$. Czyli ju偶 dwa warunki topologii s膮 spe艂nione. Pozostaje pokaza膰, 偶e spe艂niony jest trzeci. We藕my $A,B\in\tau_{X\times Y}$ oraz $x\in A\cap B$. Wtedy $x$ nale偶y do $A$ razem z ca艂ym zbiorem $U_1\times U_2$, podobnie $x$ nale偶y do $B$ razem z ca艂ym zbiorem $V_1\times V_2$ gdzie $U_i$ otwarte w $X$, $V_i$ otwarte w $Y$, $i=1,2$. $(U_1\times U_2)\cap(V_1\times V_2)$ jest r贸wny $(U_1\cap V_1)\times (U_2\cap V_2)$ i niepusty (bo nale偶y tam $x$). St膮d przekr贸j dw贸ch zbior贸w z $\tau_{X\times Y}$ nale偶y do $\tau_{X\times Y}$, a na mocy indukcji przekr贸j sko艅czenie wielu tak偶e. --- Pierwszy wniosek jest prosty. Je艣li $A,B$ otwarte odpowiednio w $X,Y$, to $A\times B$ otwarty w topologii produktowej w $X\times Y$. --- Drugi wniosek. Je艣li $A\subset X, B\subset Y$ s膮 domkni臋te, natomiast $x=(x_1,x_2)\in X\times Y$ nie nale偶y do $A\times B$, to znaczy, 偶e $x_1 \notin A$ lub $x_2 \notin B$. Je艣li $x_1\notin A$, to $X\backslash A$ otwarty, oczywi艣cie $Y$ otwarty, zarazem $(X\backslash A)\times Y$ roz艂膮czny z $A\times B$ i $x\in(X\backslash A)\times Y$. Analogicznie rozumujemy dla $x_2$. St膮d wniosek drugi, 偶e dope艂nienie iloczynu zbior贸w domkni臋tych jest zbiorem otwartym, a zatem iloczyn kartezja艅ski zbior贸w domkni臋tych jest zbiorem domkni臋tym w sensie topologii produktowej. ----------- Pomoc w symbolicznym zapisie to nie to samo, co podyktowanie ca艂ego zapisu. Pisz 艣mia艂o, wi臋cej si臋 nauczysz pr贸buj膮c. A ja sprawdz臋. :) Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2013-11-30 22:19:07 przez tumor |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj