Topologia, zadanie nr 1780
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
agusiaczarna22 post贸w: 106 |  2013-12-04 22:37:45Mam za zadanie poda膰 przyk艂ad funkcji : $(a)f: R \to R, (b) f: (0,1) \to (0,1),$ kt贸ra jest ci膮g艂a, lecz nie jest jednostajnie ci膮g艂a wraz z uzasadnieniem.Prosz臋 o pomoc:( |
tumor post贸w: 8070 | 2013-12-04 22:58:08 a) $f(x)=e^x$ Przeczytaj sobie warunek jednostajnej ci膮g艂o艣ci. $\forall_{\epsilon>0}\exists_{\delta>0}\forall_{x,y}( |x-y|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|<\epsilon )$ Tak wygl膮da dostosowany do naszego przyk艂adu, czyli do naturalnej metryki na R. W przypadku tej funkcji nie jest to warunek spe艂niony. We藕my bowiem dowolny $\epsilon>0$ i dowoln膮 $\delta>0$ Zauwa偶my, 偶e istnieje $x$ taki, 偶e $f(x+\frac{\delta}{2})-f(x)=\epsilon$ Mo偶emy bowiem liczy膰 $e^{x+\frac{\delta}{2}}-e^x=\epsilon$ $e^x(e^\frac{\delta}{2}-1)=\epsilon$ $e^x=\frac{\epsilon}{e^\frac{\delta}{2}-1)}$ $x=ln(\frac{\epsilon}{e^\frac{\delta}{2}-1)})$ czyli niezale偶nie od doboru $\epsilon$ pr贸by dobrania $\delta$ do warunku jednostajnej ci膮g艂o艣ci skazane s膮 na pora偶k臋. :) ---- powy偶ej pomin膮艂em warto艣膰 bezwzgl臋dn膮, bo $e^x$ jest rosn膮ca i wi臋kszy argument ma na pewno wi臋ksz膮 warto艣膰, czyli mog艂em sobie tej warto艣ci bezwzgl臋dnej oszcz臋dzi膰. Z uwagi na monotoniczno艣膰 mam te偶 pewno艣膰 istnienia logarytmu wyliczonego na ko艅cu. Bo to nie hop siup, trzeba widzie膰, co si臋 robi :) Intuicyjnie szukamy funkcji ci膮g艂ej, ale nie jednostajnie ci膮g艂ej, w艣r贸d funkcji szalej膮cych ze stromizn膮. |
tumor post贸w: 8070 | 2013-12-04 23:53:32 b) $f(x)=\frac{1}{x}$ albo $g(x)=ln(x)$ widzimy, 偶e s膮 do艣膰 strome? i zn贸w poka偶emy 艂adnie, 偶e cho膰 s膮 ci膮g艂e (no ja nie dowodz臋 ci膮g艂o艣ci, to musia艂o by膰 na analizie w swoim czasie, w razie czego mo偶esz pokaza膰, 偶e przeciwobraz przedzia艂u otwartego jest przedzia艂em otwartym, co wystarczy dla ci膮g艂o艣ci), to nie s膮 ci膮g艂e jednostajnie. To znaczy poka偶emy, 偶e dla danego $\epsilon$, jak by nie wybiera膰 $\delta$, warunek i tak spe艂niony nie b臋dzie. ustalmy zatem $\epsilon> 0$ i we藕my dowolnie $\delta>0$. Spr贸bujemy rozwi膮za膰 $f(x)-f(x+\frac{\delta}{2})>\epsilon$ $\frac{1}{x}-\frac{1}{x+\frac{\delta}{2}}>\epsilon$ $x+\frac{\delta}{2}-x>\epsilon*x*(x+\frac{\delta}{2})$ $0>x^2+\frac{\delta}{2}x-\frac{\delta}{2\epsilon}$ Zauwa偶amy, 偶e $\Delta>0$, czyli s膮 dwa miejsca zerowe, ze wzor贸w Viete\'a szybko widzimy, 偶e s膮 r贸偶nych znak贸w. To oznacza, 偶e przekr贸j rozwi膮zania naszej nier贸wno艣ci i przedzia艂u $(0;1)$ jest niepusty, czyli znajduje si臋 w tym przedziale $x$ dla kt贸rego warunek przy obranych $\delta$ i $\epsilon$ nie jest spe艂niony. ----- a jeszcze sprawdzimy, czy si臋 uda dla $g(x)$ $g(x+\frac{\delta}{2})-g(x)>\epsilon$ $ln(x+\frac{\delta}{2})-ln(x)>\epsilon$ $ln(\frac{x+\frac{\delta}{2}}{x})>\epsilon$ $1+\frac{\delta}{2x}>e^\epsilon$ $x<\frac{\delta}{2(e^\epsilon-1)}$ zauwa偶amy, 偶e prawa strona jest dodatnia, czyli i tu mamy przekr贸j niepusty z $(0;1)$, czyli znajdujemy przy danych $\epsilon$ i $\delta$ taki $x$ w przedziale $(0;1)$, 偶e nie jest spe艂niony warunek ci膮g艂o艣ci jednostajnej. ------ Uwagi techniczne: 1) mamy topologi臋/metryk臋 naturaln膮 na R, czyli u偶ywam warto艣ci bezwzgl臋dnej jak we wzorze 2) ale funkcje, kt贸re bior臋, s膮 monotoniczne, czyli nie pisz臋 warto艣ci bezwzgl臋dnej, a od razu wynik, bo wiem, 偶e $f$ malej膮ca, a $g$ rosn膮ca 3) w warunku ci膮g艂o艣ci jednostajnej mamy kwantyfikator $\forall_{x,y}$ Ja za $y$ przyjmuj臋 $x+\frac{\delta}{2}$, bo skoro co艣 ma zachodzi膰 dla ka偶dego $y$ z pewnego przedzia艂u, to w szczeg贸lno艣ci dla takiego. I pokazuj臋, 偶e dla takiego nie zachodzi. 4) rozwi膮zuj臋 nier贸wno艣ci. Pojawiaj膮 si臋 logarytmy i funkcje wyk艂adnicze, ale zasadniczo nier贸wno艣ci te nie s膮 bardziej skomplikowane ni偶 licealne. Metody stosuj臋 licealne. W tym zadaniu pokazuj臋, 偶e w przedziale (0;1) znajdziemy x, dla kt贸rego spe艂niony jest warunek sprzeczny z warunkiem jednostajnej ci膮g艂o艣ci 5) nale偶y wzi膮膰 m贸zgow膮 poprawk臋 na fakt, 偶e w zadaniu b) mamy kr贸tki przedzia艂, czyli 偶e teoretycznie mogliby艣my wypa艣膰 poza niego maj膮c $x,y$ r贸偶ni膮ce si臋 o $\frac{\delta}{2}$. Nie ma to praktycznego znaczenia, skoro i tak rozpatrujemy tylko te sytuacje, w kt贸rych $x,y$ si臋 w przedziale mieszcz膮 |
agusiaczarna22 post贸w: 106 | 2013-12-06 22:16:46 Mam takie pytanie czemu w a) tam Pan napisa艂 znak = skoro w warunku jest znak < od epsilon i to samo w b) czemu tam jest znak > ? Czy Pan dowodzi niewprost ?:) A i dlaczego w b) jest tam * tam chodzi o to 偶e pan mno偶y przez licznik obie strony?? Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2013-12-06 22:19:50 przez agusiaczarna22 |
tumor post贸w: 8070 | 2013-12-07 08:50:33 Ustalmy na pocz膮tek, 偶e Pan to taki stary go艣膰, kt贸ry nienawidzi homoseksualist贸w do tego stopnia, 偶e ca艂e miasta wymordowa艂, nie przepada te偶 za aborcj膮, cho膰 pozbawi艂 偶ycia wi臋cej dzieci nienarodzonych ni偶 ktokolwiek inny na tej planecie. Przynajmniej zdaniem wyznawc贸w kilku religii. Tu nie ma religii, wi臋c prosz臋 o Panu ani s艂owa. 1) Ja nie dowodz臋 \"niewprost\". Ja WPROST dowodz臋, 偶e warunek jednostajnej ci膮g艂o艣ci NIE jest spe艂niony. Wszak takie mi da艂a艣 polecenie. Bior臋 funkcj臋 ci膮g艂膮 i pokazuj臋, 偶e NIE jest ci膮g艂a jednostajnie. Warunek jednostajnej ci膮g艂o艣ci m贸wi, 偶e DLA KA呕DEGO $\epsilon$ ISTNIEJE $\delta$, 偶e je艣li $x,y$ r贸偶ni膮 si臋 o mniej ni偶 $\delta$, to $f(x),f(y)$ r贸偶ni膮 si臋 o mniej ni偶 $\epsilon$. Bior臋 zatem DOWOLNE $\epsilon$ i $\delta$. Dowolny $\epsilon$ dlatego, 偶e warunek m贸wi \"DLA KA呕DEGO\". Dowoln膮 $\delta$ dlatego, by pokaza膰 ostatecznie, 偶e dla ka偶dej warunek jest niespe艂niony (czyli, 偶e nie istnieje taka, 偶e by艂by spe艂niony). Bior臋 $y=x+\frac{\delta}{2}$, bo to oznacza, 偶e $x,y$ r贸偶ni膮 si臋 NA PEWNO o mniej ni偶 $\delta$. Natomiast r贸偶ni膮 si臋 tak naprawd臋 DOWOLNIE wiele (bo $\delta$ jest dowolna). W efekcie dla ka偶dych $\epsilon, \delta$ pokazuj臋, 偶e znajdziemy $x,y$, 偶e cho膰 s膮 dostatecznie blisko (bo r贸偶ni膮 si臋 o $\frac{\delta}{2}$ czyli mniej ni偶 $\delta$) to ich warto艣ci NIE S膭 blisko, bo albo s膮 oddalone o liczb臋 $=\epsilon$, albo o $>\epsilon$. Czyli NIE TAK, jak nakazywa艂by warunek jednostajnej ci膮g艂o艣ci. 2) W zasadzie to w b) szybko sprowadzam do wsp贸lnego mianownika po lewej stronie, a potem obie strony mno偶臋 przez ten mianownik. St膮d po lewej zostaje tylko licznik. Wykonaj sobie to sprowadzanie na spokojnie. Ja nie lubi臋 przed艂u偶a膰 tekstu pisaniem ka偶dego dzia艂ania jak w gimnazjum, natomiast nie znaczy to, 偶e wystarczy zerkn膮膰 na m贸j tekst, by go poj膮膰. Czasem trzeba co艣 samodzielnie. ------ Wiesz w og贸le jak wygl膮daj膮 wykresy tych funkcji? Pomy艣l teraz. We藕my dowoln膮 $\delta$. Dla funkcji $ln(x)$ albo $\frac{1}{x}$ i przedzia艂u $P=(0,\delta)$ dla ka偶dego $\epsilon>0$ znajdziemy $x,y\in P$, kt贸rych warto艣ci r贸偶ni膮 si臋 o wi臋cej ni偶 $\epsilon$. Jest to oczywiste, bo gdy zbli偶amy si臋 z argumentem do $0$, warto艣ci funkcji uciekaj膮 do $\pm$ niesko艅czono艣ci, czyli nie s膮 ograniczone. Natomiast trzeba wiedzie膰 to, 偶e uciekaj膮. :) A powy偶ej masz to przeliczone r贸wnaniami. :) |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj