Topologia, zadanie nr 1781
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
agusiaczarna22 post贸w: 106 |  2013-12-04 22:50:53Czy ta funkcja $(a)f:R \to R,f(x)= \sqrt{\left|x \right|}$ jest jednostajnie ci膮g艂a i dlaczego? |
tumor post贸w: 8070 | 2013-12-05 10:17:31 Jest. Dlatego, 偶e spe艂nia warunek jednostajnej ci膮g艂o艣ci. :) Ustalmy $\epsilon>0$ we藕my $0<\delta<\epsilon^2$, czyli na przyk艂ad $\delta=\frac{\epsilon^2}{2}$ Chcemy pokaza膰 $|x-y|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|<\epsilon$ Przyjmijmy zatem, na pocz膮tek, 偶e $x,y$ s膮 oba dodatnie oraz $x\le y<x+\frac{\epsilon^2}{2}$ w贸wczas $x+y-\epsilon^2<2x \le 2\sqrt{xy}$ czyli $x+y-\epsilon^2< 2\sqrt{xy}$ odpowiednio przerzucamy $x+y-2\sqrt{xy}<\epsilon^2$ $(\sqrt{y}-\sqrt{x})^2<\epsilon^2$ i obustronnie pierwiastkujemy $|\sqrt{y}-\sqrt{x}|<\epsilon$ Dla $x,y$ obu ujemnych rozumowanie jest analogiczne. je艣li natomiast $x\le 0 \le y$ to $0 \le f(x) < f(\delta)=\sqrt{\frac{\epsilon^2}{2}}< \epsilon$ $0 \le f(y) < f(\delta)=\sqrt{\frac{\epsilon^2}{2}}< \epsilon$ St膮d $f(x)-f(y)$ nale偶y do przedzia艂u $(-\epsilon, \epsilon)$ czyli inaczej m贸wi膮c $|f(x)-f(y)|< \epsilon$ ---- Uwaga. Mamy tu zn贸w typowy przyk艂ad. $\sqrt{x}$ jest funkcj膮 jednostajnie ci膮g艂膮, ale nie spe艂nia warunku Lipschitza. Warunek ten te偶 w pewien spos贸b formalizuje intuicyjne poj臋cie \"stromego wykresu\". Funkcje lipschitzowskie s膮 jednostajnie ci膮g艂e, jednak w drug膮 stron臋 niekoniecznie. Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2013-12-05 10:19:35 przez tumor |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj