Analiza matematyczna, zadanie nr 1782
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
karola1010 post贸w: 46 |  2013-12-05 12:07:45Witam. Bardzo prosze o pomoc to jest dla mnie baardzo wazne a nie umiem sobie z tym poradzic. Dlatego prosze o dosc jasne wytlumaczenie ;)podrawiam a) CZy jesli szereg (sigma)a_{n} o wyrazach dowolnych spe艂nia warunek Cauchyego to szereg (sigma)(a_{n})^{2}rowniez spelnia warunek Cauchyego? b) CZy jesli szereg (sigma)a_{n} o wyrazach nieujemnych spe艂nia warunek Cauchyego to szereg (sigma)(a_{n})^{2}rowniez spelnia warunek Cauchyego? Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2013-12-05 12:09:45 przez karola1010 |
tumor post贸w: 8070 | 2013-12-05 13:15:19 We藕my ci膮g $b_n=\sqrt{\frac{1}{n}}$, $c_n=-\sqrt{\frac{1}{n}}$ oraz $a_n=\left\{\begin{matrix} b_\frac{n+1}{2} \mbox{ dla n nieparzystych} \\ c_{\frac{n}{2}} \mbox{ dla n parzystych} \end{matrix}\right.$ innymi s艂owy dostajemy na zmian臋 wyrazy ci膮gu $b_n$ i $c_n$ Zauwa偶my, 偶e $\sum a_n$ spe艂nia warunek Cauchy\'ego, bowiem suma nieparzy艣cie wielu kolejnych wyraz贸w ci膮gu r贸wna si臋 jednemu ze skrajnych wyraz贸w sumowanych, suma za艣 parzy艣cie wielu - r贸wna jest $0$ lub jest r贸wna sumie obu skrajnych wyraz贸w. W ka偶dym z tych przypadk贸w dla ustalonego $\epsilon>0$ da si臋 zatem znale藕膰 $n_0$, 偶e dla wi臋kszych od niego $n,m$ zachodzi $|\sum_{i=n+1}^{m}a_i|<\epsilon$. a) odpowied藕 zatem brzmi NIE, gdy偶 szereg $\sum (a_n)^2$ jest rozbie偶ny i nie mo偶e spe艂nia膰 warunku Cauchy\'ego. |
tumor post贸w: 8070 | 2013-12-05 13:23:13 b) jednocze艣nie wida膰, 偶e powy偶szy przyk艂ad ulepi艂em z wyraz贸w dodatnich i ujemnych. Gdyby odpowied藕 na pytanie a) by艂a twierdz膮ca, to w og贸le nie by艂oby po co pyta膰 w b). We藕my szereg o wyrazach nieujemnych spe艂niaj膮cy warunek Cauchy\'ego to znaczy dla ustalonego $\epsilon>0$ istnieje $n_0$, 偶e dla dowolnych wi臋kszych od $n_0$ liczb naturalnych $n,m$ mamy $|\sum_{i=n+1}^{m}a_i|<\epsilon$ W szczeg贸lno艣ci, je艣li $m=n+1$, oznacza to, 偶e dla ka偶dego $\epsilon>0$ pocz膮wszy od pewnego $n_0$ wszystkie dalsze wyrazy s膮 od $\epsilon$ mniejsze, czyli od pewnego miejsca wyrazy $a_i$ z ca艂膮 pewno艣ci膮 nale偶膮 do przedzia艂u $[0,1)$. Je艣li nale偶膮, to $0 \le a_i^2\le a_i$ czyli $|\sum_{i=n+1}^{m}a_i|<\epsilon$ poci膮ga $|\sum_{i=n+1}^{m}a_i^2|<\epsilon$ odpowied藕 jest zatem twierdz膮ca. |
karola1010 post贸w: 46 | 2013-12-05 13:45:46 Moglbys mi wytlumaczyc skad sie wzial przedzial [0,1) a potem Je艣li nale偶膮, to 0<ai^2<ai?? |
tumor post贸w: 8070 | 2013-12-05 13:51:09 Owszem, je艣li napiszesz to zadanie w dziale \"szko艂a podstawowa\". W matematyce nie da si臋 robi膰 zada艅 ze studi贸w, je艣li nie pami臋tasz rzeczy tak 艂atwych, 偶e 艣miesznych. WYJA艢NI艁EM, sk膮d si臋 wzi膮艂 przedzia艂. Tylko nie jeste艣 w stanie tego przeczyta膰. We藕 sobie jedn膮 liczb臋 z tego przedzia艂u, policz jej kwadrat i sprawd藕, czy jest mniejszy od tej liczby. Potem we藕 drug膮 liczb臋. Potem trzeci膮 i tak dalej. A jak sprawdzisz wszystkie, to wr贸膰 tu rozmawia膰. |
karola1010 post贸w: 46 | 2013-12-05 14:36:38 fakt na poczatku nie zauwazylam skad sie wzielo ze 0<ai^2<ai ale zanim mi odp zauwazylam to. Po prostu nie rozumiem skad sie wzial przedzial [0,1) i tyle i stad moje pytanie. skoro tu pisze tzn ze tego nie rozumiem, wiec nie rozumiem z czego wynika Twoje zachowanie! |
tumor post贸w: 8070 | 2013-12-05 17:54:54 Wyja艣ni艂em, sk膮d si臋 bierze przedzia艂. Wiem, 偶e nie rozumiesz. Wiem, 偶e wyja艣ni艂em. Wiem, 偶e wci膮偶 nie rozumiesz. :) Z tego wynika moje zachowanie. Nie uwierzysz, jak cz臋sto m贸wi臋 studentom, 偶e powinni byli zostawi膰 miejsce na uczelni komu艣 odpowiedniejszemu. Ale skoro chcesz dowodu, 偶e wyja艣ni艂em, to prosz臋: \"W szczeg贸lno艣ci, je艣li $m=n+1$, oznacza to, 偶e dla ka偶dego $\epsilon>0$ pocz膮wszy od pewnego $n_0$ wszystkie dalsze wyrazy s膮 od $\epsilon$ mniejsze, czyli od pewnego miejsca wyrazy $a_i$ z ca艂膮 pewno艣ci膮 nale偶膮 do przedzia艂u $[0,1)$.\" Co tu jest napisane? 呕e nale偶y przede wszystkim pomy艣le膰 o sumie $\sum_{i=n+1}^{n+1}a_i$ (pomy艣la艂a艣?), kt贸ra to suma jest r贸wna wyrazowi $a_{n+1}$. W zadaniu za艂o偶ony jest warunek Cauchy\'ego, zatem dla ka偶dego $\epsilon>0$ mamy $a_{n+1}>\epsilon$ pocz膮wszy od pewnego $n_0$. Zatem od pewnego miejsca wyrazy ci膮gu, NIEUJEMNE, spe艂niaj膮 nier贸wno艣膰 $0 \le a_n <\epsilon$. Inaczej mo偶na ten fakt zapisa膰 $a_n\in [0,\epsilon)$. Dlaczego wybra艂em $1$? 呕eby by艂o NAJPRO艢CIEJ zrozumie膰, 偶e w贸wczas w艂a艣nie $0 \le a_i^2 \le a_i$. R贸wnie dobrze mog艂em wzi膮膰 zamiast $1$ dowolny mniejszy $\epsilon$, ale wtedy kto艣 m贸g艂by si臋 nie domy艣li膰, dlaczego taki przedzia艂. Wystarczy艂 mi DOWOLNY przedzia艂 o lewym ko艅cu w zerze, prawym w $\epsilon\le 1$, liczby z tego przedzia艂u spe艂niaj膮 t臋 nier贸wno艣膰, kt贸ra jest potrzebna. ;) Tylko 偶e wszystko to napisa艂em. I to, 偶e rzecz wynika z warunku Cauchy\'ego, i to, 偶e nast臋pnie tworzymy nier贸wno艣膰, i to, gdzie ta nier贸wno艣膰 zostaje u偶yta, i to, 偶e wyrazy s膮 nieujemne. Wszystko by艂o. A NIE JESTE艢MY w przedszkolu, gdzie si臋 dziecku t艂umaczy dodawanie, gdy zapomni. Je艣li nie rozumie si臋 rzeczy podstawowych, je艣li wyja艣nienia wymagaj膮 jeszcze WYJA艢NIE艃 a偶 po gimnazjalne nier贸wno艣ci, to problem jest w wyborze drogi 偶ycia, a nie w zadaniu. |
karola1010 post贸w: 46 | 2013-12-05 22:55:18 Dziekuje. nie rozumiem tylko dlaczego od razu az tak bardzo mnie krytykujesz. Dopiero zaczelam swoja przygode z analiza i dla mnie nie jest wszystko od razu tak bardzo jasne jak dla Ciebie. Chyba wazne jest to ze chce sie tego nauczyc i zrozumiec wiec poprosilam o pomoc. Chyba to tez sie liczy, prawda? W kazdym razie dziekuje. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj