logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Geometria, zadanie nr 18

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

kasiuniakk23
postów: 19
2010-06-11 09:51:10

pUNKTY A=(3,1), B=(7,3) są kolejnymi wierzchołkami kwadratu ABCD. Wyznacz współrzędne wierzchołka C tego kwadratu


zorro
postów: 106
2010-06-20 08:48:12

Niech C=(x,y)
W kwadracie bok BC musi być prostopadły do AB.
Wektory AB i BC będą prostopadłe gdy ich iloczyn skalarny = 0.
$\vec{AB}=[7-3,3-1]=[4,2]$
$\vec{BC}=[x-7,y-3]$
$\vec{AB}\cdot\vec{BC}=4(x-7)+2(y-3)=0$
$y-3=-2(x-7)=-2x+14$
Jednocześnie długości obu wektorów muszą być równe (boki kwadratu)
$|\vec{BC}|=|\vec{AB}|$ co jest równoważne równaniu
$(x-7)^{2}+(y-3)^{2}=4^{2}+2^{2}=20$
Wstawiamy w miejsce (y-3) prawą stronę poprzedniej równości (-2x+14)
$(x-7)^{2}+(-2x+14)^{2}=20$
$x^{2}-14x+49+4x^{2}-56x+196-20=0$
$5x^{2}-70x+225=0$ |:5
$x^{2}-14x+45=0$
$\Delta=14^{2}-4\cdot45=16$
$\sqrt{\Delta}=4$
$x_{1}=\frac{14-4}{2}=5$
Wówczas $y_{1}-3=-2\cdot5+14=4 \Rightarrow y_{1}=7$
Natomiast
$x_{2}=\frac{14+4}{2}=9$
i wówczas $y_{1}-3=-2\cdot9+14=-4 \Rightarrow y_{1}=-1$
Odp.
Jeśli wierzchołki oznaczymy zgodnie z ruchem wskazówek zegara to punkt C=(5,7)
Jeśli wierzchołki oznaczymy przeciwnie do ruchu wskazówek zegara to punkt C=(9,-1)


strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj